Teorema de Bayes, como lo resolvería

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¡Hola Anonimo!

El teorema de Bayes dice que si tenemos unos sucesos A1, A2, ..., An que son mutuamente excluyentes y exhaustivos, todos ellos con probabilidad distinta de 0. Y sea B un suceso cualquiera del cual conocemos las probabilidades condicionadas P(B|Ai), entonces la probabilidad condicionada P(Ai | B) se calcula mediante

$$\begin{align}&P(M_i|D)= \frac{P(D|M_i)·P(M_i)}{\sum_{k=1}^nP(M_k|D)·P(M_k)}\\&\\&\text{Los}\; M_i \text{ son la máquina que ha producido el articulo}\\&\text{D es ser defectuoso el artículo producido}\\&\\&\end{align}$$

Tenemos 3 Mi, son mutuamente excluyentes porque un artículo solo puede ser producido por una máquina, son exhaustivos porque todo artículo ha sido producido por una de las tres y las probabilidades de haber sido producidos por una de ellas son todas distintas de 0.  Luego estamos en las condiciones del teorema de Bayes.

$$\begin{align}&P(M_i|D)= \frac{P(D|M_i)·P(M_i)}{\sum_{k=1}^nP(M_k|D)·P(M_k)}\\&\\&\\&\\&\\&P(M_2|D)= \frac{0.01·0.25}{0.05·0.4+0.01·0.25+0.03·0.35}=\\&\\&\frac{0.0025}{0.033}=0.07575...\\&\\&\\&P(M_3|D)=\frac{0.03·0.35}{0.033}= \frac{0.0105}{0.033}=0.318181...\\&\\&\\&\text{Para no defectuoso será}\\&\\&P(M_i|D^C)= \frac{P(D^C|M_i)·P(M_i)}{\sum_{k=1}^nP(M_k|D^C)·P(M_k)}\\&\\&\text{El denominador ya sabemos que debe ser 1-0.033=0.967}\\&\text{pero vamos a calcularlo por definición}\\&\\&\\&P(M_2|D^C)=\frac{(1-0.01)·0.25}{(1-0.05)·0.4+(1-0.01)·0.25+(1-0.03)·0.35}=\\&\\&\frac{0.2475}{0.967}=0.2559462254\\&\\&\\&P(M_3|D^C)=\frac{(1-0.03)·0.35}{0.967}=\frac{0.3395}{0.967}=0.363067045\end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.

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