Anónimo
Como puedo resolver este ejercicio de álgebra
Tengo este ejercicio de álgebra por acabar, como siempre me quedo atascada en algún punto y no sé seguir, esta vez al hallar la ecuación característica, o sea al principio :-(
Adjunto imagen del problema.
¡Muchas gracias!
2 Respuestas
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¡Hola Yolanda!
Los valores propios se obtienen igualando a 0 este determinante
|A-t·Id|=0
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|3-t -1 1 |
| 0 2-t 0 | = 0
| 1 -1 3-t|
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(3-t)(2-t)(3-t) - (2-t)=0
(2-t)·[(3-t)^2 - 1]=0
(2-t)(9 + t^2 - 6t - 1) = 0
(2-t)·(t^2 - 6t + 8) = 0
(2-t)·(t-2)·(t-4)=0
Los valores propios son {2, 2, 4}
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b)
Los vectores propios se obtienen sustitutendo t por el valor propio y resolviendo el sistema de ecuaciones.
Para t=2
1 -1 1 | 0
0 0 0 | 0
1 -1 1| 0
Queda solo la ecuación
x - y + z = 0
Y tomamos como vectores propios dos soluciones independientes
(1, 0, -1)
(0, 1, 1)
Para t=4
-1 -1 1 | 0
0 -2 0 | 0
1 -1 -1| 0
y=0
x=z
luego tomamos como vector propio (1, 0, 1)
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c)
El espacio propio del valor propio 2 tiene dimensión 2, entonce sla matriza es diagonalizable. Que si hubiera tenido dimensión 1 no habría sido diagonalizable. Y la matriz diagonal tiene los valores propios en la diagonal
2 0 0
0 2 0
0 0 4
Y la matriz de paso es la de los vectores propios puestos por columnas en el mismo orden de sus valores propios
1 0 1
0 1 0
-1 1 1
Y eso es todo, sa lu dos.
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;)
Hola Yolanda!
a)
$$\begin{align}&\lambda \ es \ un \ valor \ propio \ de \ A \Leftrightarrow A·\vec v=\lambda· \vec v \ paraalgún\ \vec v\neq \vec 0\\&\\&\Leftrightarrow \vec 0= \lambda I_3 \vec v-A \vec v \Leftrightarrow \vec 0=(\lambda I_3-A) \vec v \Leftrightarrow\\&\\&la \ matriz (\ \lambda I_3-A) tiene \ columnas \ linealmente \ dependientes \Leftrightarrow\\&det(\ \lambda I_3-A)=0\end{align}$$
;)
;)
b)
$$\begin{align}&v_1+v_2-v_3=0\\&v_2=0\\&v_1=v_3=t\\&\\&(t,0,t)\end{align}$$vectores propios (a-b,a,b)
;)