Anónimo
Como resolver este ejercicio de álgebra lineal
Adjunto ejercicio de álgebra por si alguien me puede ayudar. ¡Muchas gracias!
2 respuestas
Esta página es muy mala para escribir matrices, pero intentaré resolverlo...
$$\begin{align}&3x +...+ \lambda z = 1\\&x - y - z = -1\\&\mu x + y + z = 0\\&\text{(en la segunda hago f2 = 3f2 - f1 y en la tercera hago f3 = f3- }\mu f2)\\&3x +0y+ \lambda z = 1\\&0x - 3y - (3+ \lambda)z = -4\\&0 x + (1+ \mu)y + (1+\mu)z = 0\\&\text{(divido la fila 2 por -3, para que el pivot quede en 1)}\\&3x +0y+ \lambda z = 1\\&0x + y + (1+ \frac{\lambda}{3})z = \frac{4}{3}\\&0 x + (1+ \mu)y + (1+\mu)z = 0\\&\text{(hago f3=f3 - (1+}\mu)f2)\\&3x +0y+ \lambda z = 1\\&0x + y + (1+ \frac{\lambda}{3})z = \frac{4}{3}\\&0 x + 0y + (1+\mu)(\frac{-\lambda}{3})z = -\frac{4}{3}-\frac{4 \mu}{3}\\&\\&\\&\\&\end{align}$$a) Para esto veamos la fila 3 y que pasa cuando la parte izquierda es cero:
$$\begin{align}&Fila\ 3: \\&(1 + \mu)(\frac{-\lambda}{3})= -\frac{4}{3}(1 + \mu)\\&\text{Para que la parte izquierda sea cero, debe pasar que:}\\&(1 + \mu)(\frac{-\lambda}{3}) =0 \to \text{Al ser un producto, alguno de los factores debe ser cero}\\&1+ \mu = 0 \to \mu = -1\\&\frac{-\lambda}{3} = 0 \to \lambda = 0\\&Si\ \mu = -1, tenemos \ que:\\&(1 + (-1))(\frac{-\lambda}{3})= -\frac{4}{3}(1 + (-1))\\&0 = 0 \text{ (VALE!, pero el sistema queda compatible indeterminado)}\\&Si \ \lambda = 0\\&(1 + \mu)(\frac{0}{3})= -\frac{4}{3}(1 + \mu)\\&0 = -\frac{4}{3}(1 + \mu)\\&\text{Que si }\mu \ne -1 \text{será distinto de cero y quedará un sistema incompatible}\end{align}$$b) Para esto debe haber alguna otra condición, porque ya vimos que si
mu = -1: el sistema es compatible indeterminado
Lambda = 0: el sistema es incompatible (siempre que mu sea distinto de -1)
Para cualquier otro caso el sistema es compatible determinado, por lo cual quedan infinitos valores posibles y el sistema no puede ser resuelto, solo podría quedar en función de mu, lambda
Desarrollemos un poco más, suponiendo que lambda es distinto de 0 y mu distinto de -1.
Para esto a partir de la matriz que dejé, voy a plantear Gauss - Jordan para "diagonalizar" la matriz
Hasta el momento, tenemos que:
$$\begin{align}&3x + 0y + \lambda z = 1\\&0x + y + (1 + \frac{\lambda}{3})z = \frac{4}{3}\\&0x + 0y + (1+ \mu)(\frac{-\lambda}{3})z = -\frac{4}{3}(1+ \mu)\\&\text{Para dejar en 1, el valor de la celda 3,3) divido la fila 3 por:}(1+ \mu)(\frac{-\lambda}{3})\\&\text{Recordemos que: }\mu \ne -1, \lambda \ne 0\\&3x + 0y + \lambda z = 1\\&0x + y + (1 + \frac{\lambda}{3})z = \frac{4}{3}\\&0x + 0y + z = \frac{4}{\lambda}\\&Hago\ f1=f1-\lambda f3 || f2 = f2-(1+\frac{\lambda}{3})f3\\&3x + 0y + 0 z = -3\\&0x + y + 0 z = -\frac{4}{\lambda}\\&0x + 0y + z = \frac{4}{\lambda}\\&Finalmente\ hago\ f1 = f1/3\\&x + 0y + 0 z = -1\\&0x + y + 0 z = -\frac{4}{\lambda}\\&0x + 0y + z = \frac{4}{\lambda}\end{align}$$Por lo tanto, tenemos que las soluciones del sistema compatible determinado será
x = -1
y = -4 / lambda
z = 4 / lambda
(Recordá que lambda era distinto de cero)
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¡Hola Yolanda!
$$\begin{align}&x-y-z=-1\\&\mu x+y+z=0\\&3x+\lambda z = 1\\&\\&\text{segunda = segunda + primera }\times(-\mu)\\&\text{tercera = tercera + primera }\times(-3)\\&\\&x-y-z=-1\\&0+(\mu+1) y+(\mu+1)z=\mu\\&0+3y+(\lambda+3)z=4\\&\\&\text{Si }\mu=-1\text{ es incompatible}\\&\text{Si }\mu \neq-1\text{ podemos dividir la segunda}\\&\\&x-y-z=-1\\&0+ y+z=\frac{\mu}{\mu+1}\\&0+3y+(\lambda+3)z=4\\&\\&\text{tercera = tercera + segunda }\times (-3)\\&\\&x-y-z=-1\\&0+ y+z=\frac{\mu}{\mu+1}\\&0+0+\lambda z=4-3 \frac{\mu}{\mu+1}\\&\\&\text{Si }\lambda=0\text{ es incompatible}\\&\\&\text{Si }\lambda\neq 0\text{ el sistema es compatible}\\&\\&z=\frac{4}{\lambda}-\frac{3\mu}{\lambda(\mu+1)}=\frac{4\mu+4-3\mu}{\lambda(\mu+1)}=\frac{\mu+4}{\lambda(\mu+1)}\\&\\&y=\frac{\mu}{\mu+1}-\frac{\mu+4}{\lambda(\mu+1)}=\frac{\lambda \mu-\mu-4}{\lambda(\mu+1)}=\frac{(\lambda-1)\mu-4}{\lambda(\mu+1)}\\&\\&x=\frac{1-\lambda z}{3}=\frac{1- \frac{\mu+4}{\mu+1}}{3}=\frac{\mu+1-\mu-4}{3(\mu+1)}=\frac{-1}{\mu+1}\end{align}$$Resumiendo, si mu=-1 o lambda=0 el sistema es incompatible. Y si no se da ninguna de las anteriores es compatible determinado y la respuesta es la que tienes arriba.
Y eso es todo, saludos.
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