¿Cómo deducir la ecuación de una hipérbola a partir de una ecuación?

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¡Hola Milena!

Eso tiene que ser verdad porque está tomando la suma de las distancias a los dos focos que en una elipse es dos veces el semieje mayor.

Habrá que elevar al cuadrado dos veces. Para la primera voy a pasar antes un radical a la derecha.

$$\begin{align}&\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a\\&\\&\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}\\&\\&\text{elevo al cuadrado}\\&\\&(x-c)^2+y^2=4a^2+(x+c)^2+y^2+4a^2-4a \sqrt{(x+c)^2+y^2}\\&\\&x^2+c^2-2cx+y^2=x^2+c^2+2cx+y^2+4a^2-4a \sqrt{(x+c)^2+y^2}\\&\\&-2cx=2cx+4a^2-4a \sqrt{(x+c)^2+y^2}\\&\\&-4cx-4a^2=-4a \sqrt{(x+c)^2+y^2}\\&\\&cx+a^2=a \sqrt{(x+c)^2+y^2}\\&\\&\text{Volvemos a elevar al cuadrado}\\&\\&c^2x^2+a^4+2a^2cx=a^2[(x+c)^2+y^2]\\&\\&c^2x^2+a^4+2a^2cx=a^2[x^2+c^2+2cx+y^2]\\&\\&c^2x^2+a^4+2a^2cx=a^2x^2+a^2c^2+2a^2cx+a^2y^2\\&\\&c^2x^2+a^4=a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2\\&\\&\text{pasamos a la derecha}\\&\\&a^2x^2-c^2x^2+a^2y^2+a^2c^2-a^4=0\\&\\&(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^4-a^2c^2\\&\\&(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)\\&\\&\text{pasamos dividiendo lo de la derecha}\\&\\&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{(a^2-c^2)}=1\\&\\&\text{Y en la elipse los semiejes y semidistancia focal cumplen}\\&\\&a^2=b^2+c^2\\&\\&a^2-c^2=b^2\\&\\&\text{sustituyendo }\\&\\&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\&\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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; En la segunda línea, en el segundo miembro falta un y^2 después del c^2 y antes de la raíz.

Ese y^2 luego se cancela con el del miembro de la izquierda (en la tercera línea ya está todo correcto)

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