Resolución de sistemas logarítmicos con distinta base
No sé como resolver el siguiente sistema. ¿Qué propiedades de los logaritmos tengo que aplicar?
2 Respuestas
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Tatifdezbtez!
Es la primera vez que veo un sistema como ese
Creo que lo primero será cambiar a ecuaciones exponenciales
$$\begin{align}&log_ab=c\iff a^c=b\\&\\&log_x(y-18)=2\iff x^2 = y-18\\&\\&log_y(x+3)=\frac 12\iff y^{\frac 12}=x+3\\&\\&\text{Lo que yo haría es elevar la segunda al cuadrado}\\&\\&y = (x+3)^2\\&\\&\text{Y sustituirlo en la primera}\\&\\&x^2=(x+3)^2-18\\&\\&x^2=x^2+6x+9-18\\&\\&0=6x-9\\&\\&x=\frac 96 = \frac 32\\&\\&y=\left(3+\frac 32 \right)^2= \frac{9^2}{2^2}= \frac {81}4\\&\\&\text{Vamos a comprobar porque siempre que se eleva}\\&\text{al cuadrado pueden aparecer respuestas fantasma}\\&\\&log_{\frac 32}\left(\frac{81}{4}-18\right)=log_{\frac 32}\frac {9}4=2\\&\\&\text{ya que }\left(\frac 32 \right)^2=\frac 94\\&\\&log_{\frac{81}{4}}\left(\frac 32+3\right)=log_{\frac{81}{4}}\left(\frac 92\right)= \frac 12\\&\\&\text {ya que } \sqrt{\frac {81}{4}}=\frac 92\end{align}$$Luego está bien. Eso es todo.
Sa lu dos.
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¡Gracias! De verdad, muchas gracias. Saqué el ejercicio de alguna página de internet pero...la explicación era tan extraña que no entendía nada. De nuevo, muchas gracias.
P.D. Estoy buscando ejercicios resueltos con logaritmos neperianos y no encuentro casi nada. Conoces alguna página que me pueda ser de utilidad? Gracias.
