Determina la función que representa los ingresos totales.
Una tienda departamental tiene ingresos marginales en el departamento de perfumería de acuerdo a la siguiente función: I’(x)=2x³-3x²/(x⁴-2x³)² Determina la función que representa los ingresos totales.
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¡Hola William!
El ingreso márginal es la derivada del ingreso total, como bien indican llamándolo I'(x). Luego los ingresos totales serán la integral del ingreso marginal.
$$\begin{align}&\int \frac{2x^3-3x^2}{(x^4-2x^3)^2}dx=\\&\\&\text{Si es fácil, el cambio obligado es:}\\&t=x^4-2x^3\\&dt=(4x^3-6x^2)dx\\&\text{Si dividimos por 2 en ambos lados}\\&\frac 12 dt=(2x^3-3x^2)dx\\&\text{que es el nmerador de la integral}\\&\\&=\frac 12\int \frac{dt}{t^2}=-\frac{1}{2t}+C=\\&\\&-\frac{1}{2x^4-4x^3}+C\end{align}$$Y lamentablemente no se puede hacer más porque el que diseñó el problema no tiene ni idea de economia. ¿Cómo puede ser que para cero unidades producidas el ingreso sea infinito. Si hubiera salido un valor finito habríamos ajustado C para que para 0 unidades el ingreso fuera 0, pero con esta función no se puede hacer nada, es una función de ingreso irreal.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien, no olvides valorar las respuesta.
Saludos.
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Hola william!
Los ingresos marginales son la derivada de los ingresos totales. Luego los ingresos totales es la integral de los marginales.
Esa integral se hace con un cambio de variable:
$$\begin{align}&I= \int \frac{2x^3-3x^2}{(x^4-2x^3)^2}dx=\\&\\&x^4-2x^3=t\\&(4x^3-6x^2)dx=dt\\&2(2x^3-3x^2)dx=dt\\&\\&(2x^3-3x^2)dx=\frac{dt}{2}\\&\\&== \int t^{-2} \frac{dt}{2}=\frac{1}{2} \frac{t^{-1}}{-1}=-\frac{1}{2t}=-\frac{1}{2(x^4-2x^3)}+C\end{align}$$saludos
;)
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