Problema de ecuaciones lineales (ecuaciones diferenciales)

;)

Hola Mila Cu!

Una ecuación diferencial de la forma

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

es diferencial exacta si:

$$\begin{align}&\frac{\partial M}{\partial y}= \frac{\partial N}{\partial x}\\&\\&que \ representaré\ así\\&M_y=Nx\\&\\&cosy·dx-(xseny+tany)dy=0\\&\\&M=cosy \Rightarrow M_y=-seny\\&N=-xseny-tany \Rightarrow N_x=-seny\\&\\&M_y=N_x \Rightarrow Si \ es \ diferencial  \ exacta \ \ \ \exists F(x,y) \ tal  \ que\\&\\&\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy=0\\&\\&donde:\\&F_x=\frac{\partial F}{\partial x}=M \Rightarrow F(x,y)=\int Mdx=(*)\\&F_y=N\\&\\&=(*)=\int \cos(y)dx + h(y)=xcosy+h(y)\\&\\&Derivando \ respecto \ y\\&F_y=-xseny+h'(y)\\&y \ también\\&F_y=N=-(xseny+tany)\\&\\&Igualando:\\&-xseny+h'(y)=-xseny-tany\\&h'(y)=-tany \Rightarrow h(y)= \int-tanydy= \int \frac{-seny}{cosy}dy=ln |cosy|+C\\&\\&\\&Luego:\\&F(x,y)=x(cosy)+ln|cosy|+C\end{align}$$

Saludos

;)

;)