Problema de aplicación de calculo integral
Resolver el siguiente problema de Aplicación de la integral en la industria, sobre el área entre curvas dadas
Respuesta
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Te dejo la gráfica primero
Se ve que la primer función (azul) es mayor que la segunda y aunque se pueden aproximar los límites, lo mejor es calcularlo exacto, para esto igualamos las expresiones...
$$\begin{align}&20-x^2=x^2-12\\&8 = 2x^2\\&x=\pm4\\&Area = \int_{-4}^{4} (20-x^2) - (x^2-12) dx = \\&\int_{-4}^{4} 32-2x^2 dx = 32x -2 \frac{x^3}{3} \bigg|_{-4}^{4}=\\&(32\cdot 4 - 2\cdot \frac{4^3}{4}) - (32\cdot (-4) - 2\cdot \frac{(-4)^3}{4}) =\\&(128 - 32) - (-128 + 32) = 192\\&\text{Al ver que era simétrico también se podía calcular entre 0 y 4 y luego multiplicarlo por 2}\\&d) \\&1m^2....45 min\\&192 m^2...X = \frac{192 \cdot 45 min}{1} = 8640 min = 144 hs = 6 días\end{align}$$
Disculpe ¿porque el área entre curvas,según mi gráfica y otros programas da 170.67, si yo no encuentro ningún error?
A ver... como la función es par (se puede ver que lo que está a la izquierda del eje Y es igual que lo que está a derecha del eje Y) voy a cambiar los límites de integración para simplificar los cálculos:
$$\begin{align}&Area = 2\cdot \int_0^4 32-2x^2 dx= 2\cdot (32x-2 \frac{x^3}{3})\bigg|_0^4=\\&2\cdot ((32\cdot 4 - 2 \frac{4^3}{3})-0) = 2\cdot (128-\frac{128}{3})=\frac{4}{3}\cdot128=\frac{512}{3} \approx 170.666\end{align}$$Efectivamente estaba mal el cálculo que había hecho, no revisé las cuentas, pero seguramente metí un "dedazo" en algún lado