Determina este problema de optimización
Un hacendado tiene 300 m de malla para cercar dos corrales rectangulares iguales y contiguos, es decir, que comparten un lado de la cerca. Determinar las dimensiones de los corrales para que el área cercada sea máxima. No olvides plantear la función a optimizar (la del área) así como su gráfica.
2 Respuestas
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¡Hola Iris!
Cada corral tendrá su base y su altura. Supongamos que el lado que comparten es la altura, o sea, están uno a la derecha y otro a la izquierda. Entonces se necesitará cerca para 5 bases y 3 alturas.
Tendremos
5b + 3h = 300
Y el área de los corrales será
A(b,h) = 2bh
Vamos a poner la función en función de una sola variable, por ejemplo despejaremos b en la ecuación de la longitud
5b = 300 - 3h
b = 60 - 3h/5
Y llevamos esto a la función del área
A(h) = 2(60-3h/5)h = 120h - (6/5)h^2
Derivamos e igualamos a 0 para calcular el máximo
A'(h) = 120 - (12/5)h = 0
(12/5)h = 120
h = 120·(5/12) = 50m
Bueno, habría que ver si es un máximo, eso ya lo sabía yo porque la función es una parábola vuelta hacia abajo. Pero si no se sabe eso hagamos la derivada segunda
A''(h) = -12/5 es negativa luego es un máximo
Y la base será
b=60 - 3h/5 = 60 - 3·30/5 = 60 - 90/5 = 60-18 = 32m
Y el área máxima será
A(h) = 120h - (6/5)h^2
A(50) = 120·50 - (6/5)50^2= 6000 - (6/5)2500)=6000-6·500 = 3000m^2
La gráfica es:
Tuve un fallo al poner que había 5 bases, son 4 como ha hecho ver Gustavo. Sigue su respuesta en tanto yo doy de nuevo la mía y así comprobamos la de Gustavo. Y nada más que puedas puntúale a él
Cada corral tendrá su base y su altura. Supongamos que el lado que comparten es la altura, o sea, están uno a la derecha y otro a la izquierda. Entonces se necesitará cerca para 4 bases y 3 alturas.
Tendremos
4b + 3h = 300
Y el área de los corrales será
A(b,h) = 2bh
Vamos a poner la función en función de una sola variable, por ejemplo despejaremos b en la ecuación de la longitud
4b = 300 - 3h
b = 75 - 3h/4
Y llevamos esto a la función del área
A(h) = 2(75-3h/4)h = 150h - (3/2)h^2
Derivamos e igualamos a 0 para calcular el máximo
A'(h) = 150 - 3h = 0
3h = 150
h = 150/3 = 50m
Bueno, habría que ver si es un máximo, eso ya lo sabía yo porque la función es una parábola vuelta hacia abajo. Pero si no se sabe eso hagamos la derivada segunda
A''(h) = -12/5 es negativa luego es un máximo
Y la base será
b=75 - 3h/4 = 75 - 3·50/4 = 75 - 37.5 = 37.5m
Y el área máxima será
A(h) = 150h - (3/2)h^2
A(50) = 150·50 - (3/2)50^2= 7500 - (3/2)2500=7500-3750 = 3750m^2
La gráfica es:
Aunque sea distinta de la de Gustavo las dos están bien. Ten en cuenta que la suya depende de la base y la mía de la altura, lo que cuenta es que el maxímo de ambas funciones es 3750.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Perdona por el fallo.
Saludos.
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Si bien el procedimiento del profe es correcto, voy a diferir en el cálculo de las cercas pues si planteás un rectángulo al lado del otro (sería equivalente uno debajo del otro) tendrías que tenés 4 bases (2 para cada triángulo) y 3 alturas (1 para cada rectángulo y 1 más compartida)
Por lo tanto las ecuaciones involucradas son:
4b + 3h = 300
A(b,h) = 2bh
De la primera despejo h
h = 100 - 4/3 b
Reemplazo h en la expresión del área
A(b) = 2b(100 - 4/3b)
A(b) = 200b - 8/3 b^2
A'(b) = 200 - 16/3 b
A'(b) = 0 implica
b = 75/2 = 37.5
reemplazando en h
h = 100 - 4/3 * 75/2 = 50
Por lo que en realidad queda la base de 75 m ("partido en 2") y la altura de 50m
Te dejo la gráfica (es válida entre 0 y 75)
Profe, no entiendo por qué plantea la ecuación 5b + 3h = 300; en el dibujo que me imagino las bases son 4 y no 5...Saludos - Anónimo
Se me fue la olla, tienes razón. - Valero Angel Serrano Mercadal
Y muchas gracias. - Valero Angel Serrano Mercadal