Como se realiza la siguiente integración
Como se realiza esta integración la verdad llevo tiempo tratando de descifrar como realizarla 
1 Respuesta
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¡Hola Marco!
No hay que descifrar nada, o sabes el método para las integrales racionales o no la vas a integrar en la vida.
En este método lo primero es que el numerador debe ser de grado menor que el denominador, luego lo primero es hacer una división de polinomios para extraer el cociente y el resto. Resulta que en esta página no se pueden hacer esas cosas o quedan muy mal. Si no usas nada las líneas aparecen separadas kilométricamente y si usas el llamado editor de bloques el 90% de las veces te quita la alineación de columnas que tanto te costo hacer.
Luego lo haremos sin casitas ni nada de eso. Si dividimos
2x^2-3x+3 entre x^2+x ya vemos que el cociente entero va a ser 2, entonces el resto será
2x^2 - 3x + 3 - 2(x^2 + x) =
2x^2 - 3x + 3 - 2x^2 - 2x = -5x+3
Es por eso que la integral la podemos descomponer así:
$$\begin{align}&I=\int \frac{2x^2-3x+3}{x^2+x}dx=\\&\\&\int\left(2+\frac{-5x+3}{x^2+x}\right)dx=\\&\\&2x+\int \frac{-5x+3}{x(x+1)}dx=\\&\\&\text{ahora hay que descomponer el integrando en}\\&\text{fraccciones simples, en la teoría te explican cómo.}\\&\text{Ya factoricé el denominador pues eso es importante}\\&\\& \frac{-5x+3}{x(x+1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}=\frac{ax+a+bx}{x(x+1)}\\&\\&\text {luego}\\&-5x+3 = (a+b)x+a\\&\text{de donde}\\&a=3\\&-5=3+b\\&b=-8\\&\\&\text{Y la integral es}\\&\\&I=2x+\int \frac 3x dx +\int \frac{-8}{x+1} dx=\\&\\&2x +3\, ln\,|x|-8\,ln\,|x+1|+C\end{align}$$
