Resolver la siguiente integral indefinida utilizando las propiedades de las integrales

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¡Hola Oscar!

Para resolver esta integral hay que simplificar antes en integrando. Puede hacerse o bien sabiendo la fórmula de de diferencia de dos cubos o bien haciendo la división por Ruffini.

Yo me sé algo incluso más fuerte que esas dos cosas, sé esta fórmula que se llama ecuación coclotómica:

$$\begin{align}&a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1})\\&\\&\text{de donde se deduce}\\&\\&a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\&\\&\int \frac{x^3-1}{x-1}dx =\int \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}dx=\\&\\&\int(x^2+x+1)dx =\frac{x^3}3+\frac{x^2}2+x+C\end{align}$$

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Cuando el grado del numerador es mayor que el del denominador se ha de proceder hacer la división. División que en este caso se puede hacer por Ruffini

Ya que el divisor es x-1

         1     0     0     -1

1________1___1___1____

        1      1      1      0

Da exacta : resto=0; cociente x^2+x+1

luego:

$$\begin{align}&\int \frac{x^3-1}{x-1}dx= \int (x^2+x+1)dx=\\&\\&\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x+C\end{align}$$