Ejercicios el estudio de "Cálculo Diferencial" para ello tendrán que resolver unos problemas de límites en los cuales aplicarán

Son demasiados ejercicios para una sola pregunta así que te haré los 2 primeros. Deberás esperar que otro experto resuelva el resto o sino enviarlo en una nueva pregunta:

$$\begin{align}&1.\\&\lim_{h \to 0} \frac{(x+2h)^2-x^2}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{x^2+4hx+4h^2-x^2}{h}=\\&\lim_{h \to 0} \frac{4hx+4h^2}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{4h(x+h)}{h}=\\&\lim_{h \to 0} 4(x+h) \to 4x\\&\\&2. \lim_{x \to 3} \frac{x^2-4}{x^2-5x+6}\\&\mbox{El polinomio del numerador tiende a 5 y el del denominados a 0, luego toda la función tiende a infinito}\\&\mbox{Ojo que cuando }x \to 3^- \mbox{(valores menores a 3), el denominador tiende a cero por derecha y la función tenderá a } +\infty\\&\mbox{En tanto que cuando }x \to 3^+ \mbox{(valores mayores a 3), el denominador tiende a cero por izquierda y la función tenderá a } -\infty\\&\mbox{De lo anterior, lo único que se puede deducir es que esa función diverge cuando } x\to 3\\&\end{align}$$

Yo te haré los otros dos:

3.-

$$\begin{align}&\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x^2-5x+6}=\frac{0}{0}=\\&\\&\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(x-3)}=\\&\\&\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-3}=\frac{1}{-1}=-1\\&\\&\end{align}$$

4.-

$$\begin{align}&\lim_{x\to 5}\frac{4x-20}{3x^2-7x+5}=\frac{0}{3·5^2-7·5+5}=\frac{0}{45}=0\end{align}$$

·

Yo haré el que me han dejado. Pero para la próxima vez manda los límites de dos en dos o de uno en uno, nos pondrás más que contentos.

$$\begin{align}&\lim_{x\to\infty} \frac{2x^2+x+1}{6+x+4x^2}=\\&\\&\text{por aplicación de la regla de límites en el }\\&\text{infinito de funciones racionales de igual grado}\\&\text{ya sabemos que el límite es el cociente de}\\&\text{los coeficientes de mayor grado: }\frac 24=\frac 12\\&\\&\text{Pero por si no te han enseñado eso, vamos}\\&\text{a sacar factor común }x^2\\&\\&=\lim_{x\to\infty} \frac{x^2\left(2+\frac 1x+\frac 1{x^2}\right)}{x^2\left(\frac 6{x^2}+\frac 1x+4\right)}=\\&\\&\text{simplificamos el }x^2\\&\\&=\lim_{x\to\infty} \frac{2+\frac 1x+\frac 1{x^2}}{\frac 6{x^2}+\frac 1x+4}=\\&\\&\text{todo número dividido por }x, x^2,\text { ...,   tenderá a cero}\\&\text{cuando x tienda a infinito}\\&\\&= \frac{2+0+0}{0+0+4}=\frac 24=\frac 12\\&\end{align}$$

Y eso es todo.