Sea V = {b√2 /b∈Q } . Considere además la operación de adición usual entre los elementos de V , esto es:b1√2 + b2√2 = (b1 + b2)
Es sobre álgebra superior. Sea V = {b√2 /b∈Q } . Considere además la operación de adición usual entre los elementos de V , esto es:
b1√2 + b2√2 = (b1 + b2)√2 ∈ V
Y la operación de multiplicación entre elementos de V y elementos del campo de los números racionales Q; esto
es
α(b√2) = (αb)√2 ε V donde α∈ Q.
Determina si V es un espacio vectorial sobre el campo de los racionales.
1 respuesta
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Supongo que te pedirán demostrar todas las propiedades. Es que habría una forma de demostrarlo demostrando que este es un subespacio vectorial de R sobre el cuerpo Q, pero dudo mucho que te dejen hacer eso.
Si acaso confírmamelo, es un apregunta que lleva cierto trabajo y antes de ponerme quiero estar seguro.
Hola profe, solo me dicen eso, que determine si v es un espacio vectorial sobre el campo de los racionales.
Estos son todos los problemas que me dejaron:
1. Comprobar que la ecuación dada tiene como raíces los valores indicados de r y hallar las raíces restantes
3x^3 − x^2 − 3x + 1 = 0, r = 1/3
2. Hallar los valores A, B, C para que se verifique la siguiente identidad:
2x^2 − 3x − 11 = A(x^2 − 1) + B(x^2 + 3x + 2) +C(x^2 + x − 2)
3. Sea V = {b√2 /b∈Q } . Considere además la operación de adición usual entre los elementos de V , esto es:
b1√2 + b2√2 = (b1 + b2)√2 ∈ V
y la operación de multiplicación entre elementos de V y elementos del campo de los números racionales Q ; esto
es
α(b√2) = (αb)√2 ε V donde α∈ Q.
Determina si V es un espacio vectorial sobre el campo de los racionales
4. ¿Es (1,0) combinación lineal de los vectores (1, 2) y (2,
4)?
Tranquilo Francisco solo te responderé un ejercicio por pregunta. Ya se que te preguntan determine si v es un espacio vectorial sobre el campo de los racionales.
Pero es que todo depende de lo que hayas estidiado y de como estéis resolviendo los problemas, cosa que yo no puedo saber a menos que tú me lo digas.
Entonces hay dos formas, te tomas como en mi caso la wikipedia para recordar las propiedades y las vas comprobando una por una.
Y otra es tomar un espacio vectorial conocido y comprobar que es un subespacio vectorial de él.
Voy a hacer esta segunda es más corta e instructiva. El espacio vectorial conocido se da por sentado que es espacio si no no hemos ganado nada.
Y entonces yo digo que el espacio vectorial conocido es
(R, Q, +, ·)
Como los números de Q son reales se cumplen las propiedades del producto por un escalar que se cumplen en (R, R, +, ·)
Y no cuesta nada comprobarlo si so se tiene la seguridad.
Entonces vamos a demostrar que (V, Q,+,·) es un subespacio de (R, Q,+,·)
1) V no es vació tiene por lo menos el 0 e infinitos más
2) (V,Q,+,·) está incluido en (R,Q,+.·)
Los números b√2 son reales y las operaciones definidas en (V, Q+,·) son las mismas que tendrían en (R, Q,+,·)
3) Una combinación lineal de elementos de (V, Q,+,·)
$$\begin{align}&a_1(b_1 \sqrt 2)+a_2(b_2 \sqrt 2)=\\&\\&(a_1b_1)\sqrt 2+ (a_2b_2)\sqrt 2=\\&\\&(a_1b_1+a_2b_2)\sqrt 2\\&\\&\text{como }a_1,a_2,b_1,b_2 \in Q\implies\\&(a_1b_1+a_2b_2)\in Q\implies\\&(a_1b_1+a_2b_2)\sqrt 2\in V\end{align}$$luego (V,Q,+,·) es un subespacio vectorial de (R,Q,+,·)
Y eso es todo. Si quieres la demostración por comprobación de todas las propiedades de espacio vectorial mándalo en otra pregunta
