Determinar si es o no es espacio vectorial.

Este es otro ejercicio de espacios vectoriales, de nuevo lo mismo:

Determinar cuales conjuntos son espacios vectoriales bajo las operaciones de adición y multiplicación por un escalar. Para aquello que no sean espacios vectoriales decir que propiedades o axiomas no se cumplen.

1. El conjunto de todas las matrices 2x2 de la forma :

http://imageshack.us/photo/my-images/109/001wrg.jpg/

Con la adición y multiplicación escalar de matrices.

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2 respuestas

Respuesta
1

Aquí es distinto, ya sabemos que todas las matrices 2x2 forman unes espacio vectorial. No haría falta demostrar que se cumplen algunas. Pero además hay un teorema que directamente nos dirá si las matrices de esa forma son un subespacio vectorial.

Sea V espavio vectorial y U un subconjunto de V. U es un subespacio vectorial si

i) Para todo u,v € U se cumple u+v € U

Ii) Para todo k € K se cumple ku € U

Veamos la primera

$$\begin{pmatrix}
a&a+b\\
a+b&b
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
a´&a´+b´\\
a´+b´&b´
\end{pmatrix}=
\\
\begin{pmatrix}
a+a´&a+a´+b+b´\\
a+a´+b+b´&b+b´
\end{pmatrix}$$

que si llamamos c=a+a' y d = b+b' se ve que es una matriz de la forma de las matrices de U

Y la multiplicación por un escalar también nos da una matriz de ese tipo, se puede comprobar sin necesidad de escribirlo.

Luego ese subconjunto de las matrices 2x2 es un subespacio vectorial de todas las matrices 2x2. Y por lo tanto es un espacio vectorial y cumple todas las propiedades.

Y eso es todo. Si no te sirve la demostración con este teorema ya me lo dirás.

pues valeroasm ni siquiera he estudfiado el tema de subespacios asi que mejor ayudame a resolverlo solo con las propiedades de los espacios vectoriales

Por lo menos ya demostramos que las operaciones son internas, o sea, que la suma de dos matrices de ese tipo es otra matriz de ese tipo y que el producto por un escalar también es una matriz de ese tipo.

1 y 2) Las propiedades conmutativa y asociativa de la suma de matrices se cumplen como en todas las matrices, no hace falta demostrarlas

3) Elemento neutro de la suma. El elemento neutro es la matriz con todo ceros. La matriz con todo ceros responde al patrón de estas matrices, luego esta en el conjunto.

4) Elemento inverso.

Dado un elemento

 a  a+b
a+b  b
el inverso es
 -a  -a-b
-a-b  -b
Que pertenece al conjunto de esas matrices

5, 6, 7 y 8 Se cumplen al igual que en todas las matrices de orden 2

Las propiedades las estoy tomando de

Enlace a Espacio vectorial. Wikipedia

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

Por si en tu libro no están en el mismo orden o añaden con numeración las de operación interna. Me parece que no van a funcionar los enlaces por fallo de la página.

Y eso es todo, espero que con esto ya sea suficiente y no sea necesario demostrar las propiedades de las matrices.

Respuesta

si a todo eso le agregan un ad = 0, ¿Solo sería reemplazar después de haber hecho esas dos propiedades?

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