Determine si el conjunto de los polinomios constituye un espacio vectorial.
Determine si el conjunto de los polinomios Pn con coeficientes reales de grado menor o igual a n constituye un espacio vectorial. Espacio vectorial.
Por favor espero pueda ayudarme D: ya llevo 4 horas intentándolo hacer y no me doy ni idea.
1 Respuesta
Supongo que lo que te piden es demostrar que es un subespacio vectorial del espacio vectorial de todos los polinomios.
La demostración de que todos los polinomios son espacio vectorial sería propiedad por propiedad
1) u+v = v+u
2) u+(v+w) = (u+v)+w
3) Existe 0 tal que u+0=u
4) Existe opuesto tal que u+(-u)=0
Y para los escalares a,b
5) a(bu)= (ab)u
6) 1·u = u
7) a(u+v) = au + av
8) (a+b)u = au + bv
No puse las definiciones completas, aquí las tienes con detalle
Y es sencillo probarlas todas.
Lo que yo creo es que quieren que uses el teorema de caracterización de subespacios vectoriales
1) Sean p(x) y q(x) polinomios de grado <= n
$$\begin{align}&p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\\ &q(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_1x+b_0\\ &\\ &(p+q)(x)=p(x)+q(x) =\\ &(a_n+b_n)x^n+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+...+(a_1+b_1)x+a_0+b_0\end{align}$$Y el polinomio resultante tendré a lo sumo grado n, luego el polinomio (p+q)(x) pertenece al conjunto de los polinomio con grado <=n
2) Para todo k perteneciente al cuerpo y p de grado menor que n el polinomio
(kp)(x) = kp(x) = k·an·x^n+....+ k·a0
que es un polinomio de grado <=n
Luego el conjunto de polinomios de grado <=n es un subespacio vectorial del espacio vectorial de todos los polinomios y por tanto un espacio vectorial.
