Problema de dimensiones y ecuaciones cartesianas

a) La dimensión la da el número de vectores de una base del subespacio porque todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de elementos. Una base es un sistema generador y libre a la vez.

Los vectores (1,-1,-2) y (1,0,3) son el sistema generador de S. Si fueran linealmente independientes serían un sistema libre y serían una base.

Tomemos una combinación lineal de ellos igualada al vector nulo

a(1,-1,-2) + b(1,0,3) = (0,0,0)

(a+b, -a, -2a+3b) = (0,0,0)

tenemos estas tres ecuaciones

a+b = 0

-a = 0

-2a+3b = 0

De la segunda tenemos:

a = 0

Y entonces vamos a la primera

0+b = 0

b=0

Luego a=b=0

Esto significa que los vectores son linealmente independientes, o lo que es lo mismo, que forman un sistema libre. Son un sistema libre y son los generadores de S, luego son una base de S. Y como son 2, la dimensión de S es 2.

El subespacio S son los vectores (x, y, z) que se forman como combinación lineal de los dos generadores

a(1,-1,-2) + b(1,0,3) = (x,y,z) para todo a,b € R

a+b = x
-a = y
-2a+3b = z

De la segunda tenemos

a= -y

Vamos a la primera con ella para despejar b

-y+b = x

b = x+y

Y con estos valores de a y b vamos a la tercera

-2(-y) + 3(x+y) = z

2y +3x +3y = z

3x + 5y = z

3x + 5y - z = 0

Y las ecuaciones cartesianas de S son

S = {(x,y,z) € R3 | 3x+5y-z=0}

b)

Acabamos de definir S y tenemos la definición de V. Si un vector (x, y, z) pertenece a ambos subespacios cumplirá las ecuaciones de ambos. Luego cumplirá este sistema de ecuaciones homogéneo:

x - y + 2z = 0

3x + 5y - z = 0

c)

Para encontrar la solución consideraremos z como un parámetro, lo pasaremos al otro lado.

x - y = -2z

3x +5y = z

Sumamos a la segunda la primera multiplicada por -3

x-y = -2z

8y = 7z

Obtenemos

y = 7z/8

Vamos a la primera con ese valor

x-7z/8 = -2z

x =-2z+7z/8 = (-16z+7z)8 = -9z/8

La solución es

(-9z/8, 7z/8, z) para todo z € R

Esto es el espacio vectorial generado por el vector (-9/8, 7/8,1) luego su dimensión es 1.

Puede tomarse una base más sencilla multiplicando el vector por 8

La base sería (-9, 7, 8)

Y eso es todo.

Hola Experto!!

Leyendo su respuesta me han surgido algunas dudas:

a) a(1,-1,-2) + b(1,0,3) = (0,0,0)
(a+b, -a, -2a+3b) = (0,0,0)

Entiendo que la segunda línea es el resultado de multiplicar a y b por lo de arriba, ¿no es cierto? Sin embargo, ¿porque a+b está colocado al principio? ¿No debería ser:

(a,-a,-2a+b;3b)? ¿Y para que sirve igualar al vector nulo?

c)¿Por qué para hallar la solución, pasamos "z" a la derecha? ¿Por qué multiplicamos por -3 y no por cualquier otro número? ¿De dónde sale ésto: (-16z+7z)8 ? ¿Y por qué la dimensión es 1?

Siento hacerle tantas preguntas, pero es que he estado dándole muchas vueltas para ver si lo sacaba y ya lo he dejado por imposible...

Espero su pronta respuesta,

Muchísimas gracias por su paciencia y tiempo!!

Lo primero es por la definición de las operaciones en Rn.

La multiplicación de un escalar por un vector es:

a(i, j, k) = (ai, aj, ak)

Y la suma de dos vectores

(i, j, k) +(m, n, p) = (i+m, j+n, k+p)

Entonces

a(1,-1,-2) + b(1,0,3) =

(a, -a, -2a) + (b, 0, 3b) =

(a+b, -a, -2a+3b)

La igualación al vector cero es la prueba de que son linealmente independientes, es algo que te aparecerá en la teoría. Dos vectores son linealmente independientes si la única combinación lineal de ellos que da el vector nulo es aquella en la que todos los escalares de la combinación son cero.

Nosotros tomamos escalares a y b y queremos saber si los dos van a ser cero o no. Si a y b son cero, los dos vectores serán linealmente independientes y su espacio vectorial tendrá dimensión 2. Si a o b pueden ser distintos de cero, entonces serán vectores dependientes y el espacio que generan solo tendrá dimensión 1.

A simple vista se ve que no son dependientes porque no son proporcionales, pero la demostración rigurosa exige todo eso que he hecho.

Cuando decimos que tomamos z como parámetro, z deja de ser una incógnita es como si fuera un número normal. Y los números normales se pasan a la derecha al resolver las ecuaciones (no es obligatorio, pero se hace).

Esta es la resolución de la ecuación:

x - y = -2z
3x +5y = z
Sumamos a la segunda la primera multiplicada por -3
x-y = -2z
8y = 7z

Preguntas que porque multiplicamos por -3. Pues es que si multiplicas la primera por otro número y la sumas a la segunda no vas a conseguir que desaparezca la x. El método de resolución de ecuaciones consiste en conseguir ecuaciones nuevas donde vayamos haciendo ceros algunos coeficientes.

Si multiplicas por -3 la primera te queda

-3x + 3y = 6z

Y si lo sumas a la segunda te queda

-3x + 3y +3x + 5y = 6z + z

8y = 7z

Perdón no era (-16z+7z)8, no lo escribí bien, es (-16z+7z)/8. Y sale de la forma de sumar fracciones poniendo denominador común.

La dimensión es uno porque la intersección es un espacio generado por un solo vector, el (-9/8, 7/8,1). Todo elemento de la intersección tiene la forma (-9z/8, 7z/8, z), luego es una combinación lineal de ese vector y solo ese, no es necesario ningún otro para expresar un vector de esa forma.

Espero que lo vayas entendiendo, veo que lo llevas muy flojo.