Mostrar que f(x) es continua en x0=0
Tengo esas dos preguntas para demostrar tengo de darle algún valor la verdad no entiendo mucho de esto alguien que me pueda explicar para poder resolver ya que tengo más parecidos
2 respuestas
Resolvamos el ejercicio 2:
Siempre para poder determinar si una función es continua en un punto dado xo debes verificar las siguientes tres condiciones:
$$\begin{align}&1.\ \ ¿f(x_{o}) existe?\\&2.\ \ ¿\lim_{x \to \ x_{o}}f(x) existe?\\&3.\ \ ¿f(x_{o}) =\lim_{x \to \ x_{o}}f(x) ?\end{align}$$Entonces, si se cumplen estas tres condiciones, podemos decir que la función es continua en ese punto dado xo.
entonces:
$$\begin{align}&1.\ \ ¿f(x_{o})=f(0) existe?\\&\text{la respuesta es sì, pues sabemos que el cero es un nùmero racional, entonces si evaluamos cero en la funciòn f(x), tenemos:}\\&f(0) = 0 \ \ \text{ya que nos dice que, x si x està en Q} \text{ por lo tanto cero es racional luego, efectivamente 0 està en Q, por lo tanto:}\\&f(0) =0\\&\\&\\&2.\ \ ¿\lim_{x \to \ x_{o}}f(x) existe?\\&\text{resolvamos el lìmite:}\\&\\&\lim_{x \to \ x_{o}}f(x)=\lim_{x \to \ 0}x=0\\&\text{por lo tanto, el limite sì existe.}\\&\\&\\&3.\ \ ¿f(x_{o}) =\lim_{x \to \ x_{o}}f(x) ?\\&\text{la respuesta es sì, pues solo nos queda checar si lo obtenido en el punto 1 es igual a lo obtenido en el punto 2, entonces:}\\&\\&f(x_{o}) =0=\lim_{x \to \ x_{o}}f(x)\\&\\&\text{por lo tanto se cumplen las tres condiciones, luego f(x) es una funciòn continua.}\end{align}$$y listo !
El otro ejercicio ¿lo podrìas madar en otra pregunta
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Para que sea continua en x=0 el límite debe coincidir con el valor la función. Como el valor de la función en 0 es 0 ya que 0 pertenece a Q y entonces debe tener su mismo valor.
Luego lo que debemos demostrar es que lim x-->0 de f(x) = 0
Y eso es fácil pero no tanto como para darlo como inmediato.
Dado un épsilon>0 tomaremos delta=epsilon
Entonces si x es racional y 0<|x-0|<delta tendremos
|f(x)-0| = |x-0|<delta=epsilon
luego |f(x)-0| < epsilon
Y si x es irracional tendremos
|f(x)-0| = |0-0| = 0 < epsilon
luego uniendo ambas tendremos
Para todo x tal que 0<|x-0|<delta se cumple |f(x)-0|<epsilon
Y esa es la definición de que limite cuando x tiende a 0 de f(x) es 0
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Y eso es todo.