Representación de limites y funciones 3

Sí, es discontinua en todo R ya que no tiene límite en ningún punto. Toma un punto cualquiera x0 y yo te voy a dar un

epsilon = 0.25

entonces tu tendrías que encontrar un delta donde los puntos x del intervalo

0<|x-x0|<delta

Estén todos a distancia < 0.25 del límite

Pero eso es imposible porque tanto los racionales como los irracionales son densos y en cualquier intervalo, por pequeño que sea, vas a tener de ambos con lo cual la función tomará valores 0 y 1 en ese intervalo y no hay ningún número que esté simultáneamente a distancia menor de 0.25 del 0 y del 1. Luego no hay límite y al no haber límite la función no es continua.

En el ejercicio anterior la función era discontinua en todos los puntos salvo el cero, ya que dado un punto x0 yo te daba el epsilon = x0/4 y pasaba como aquí, que no podías encontrar el delta que hiciera que todos los puntos de su entorno estuvieran a distancia menor de epsilon de un valor que hiciera de límite. Sin embargo en el cero si que era continua porque no podía darte el epsilon 0/4=0, las normas dicen un epsilon>0, y al darte cualquier epsilon >0 si que había un entorno del 0 donde se cumplía la definición de límite.

Y eso es todo.