¿Como demuestro?f(x)=1 y f(x)=0 si x E R

Es un ejercicio típico de toda la vida, solo que el enunciado está mal. El correcto es:

Muestre que la función:

f(x) = 1 si x es racional

0 si x es irracional

Es discontinua en todo R

Espera un poco que tengo problemas con el ordenador, luego contesto.

Vamos a intentar calcular el límite de la función.

Tomemos un punto cualquiera xo € R y tomemos epsilon = 0.5
Como siempre, debemos hallar el delta>0 tal que si 0 < |x-xo|<delta, entonces se cumpla
|f(x)-L|<epsilon=0.5
|f(x)-L| < 0.5
Pero al ser delta>0 el intervalo (xo-delta, xo+delta) tiene longitud 2·delta y hay infinitos números en el. Y entre dos número reales distintos siempre hay un un racional y un irracional (bueno, infinitos en realidad) luego tomemos el delta que tomemos >0, en ese intervalo siempre habrá racionales e irracionales, por tanto habrá puntos donde la función valga 1 y otros donde valga 0
Si tomamos el límite L fuera de la franja [0,1] tendremos |f(x)-L| >1>0.5=epsilon bien para los puntos donde f(x)=0 o bien para los que f(x)=1
Entonces el límite L debe estar a distancia menor de 0.5 tanto del 0 como del 1, pero eso es imposible, si estamos más cerca del 0 entonces la distancia al 1 es mayor de 0.5, si estamos mas cerca del 1 la distancia a 0 es mayor de 0.5. Veámoslo con rigor analítico:
1)
|1-L| < 0.5
-0.5 < 1-L < 0.5
-1.5 <-L < -0.5
0.5 < L < 1.5
2)
|0-L| < 0.5
-0.5 < L < 0.5
Luego L debe ser mayor y menor que 0.5 a la vez, absurdo, luego L no existe.
Notemos que L = 0.5 no sirve, ya que la desigualdad
|f(x)-L|<epsilon
Es estricta.

Y eso es todo.