M a ver si existe lo siguiente factores

Veamos la definición de continuidad para R.

$$\begin{align}&\text{Una función, f es continua en un intervalo abierto I= (a,b), si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:}\\&\forall c \in I=(a,b): \quad \lim_{x \to c} f(x) = f(c) \\&\\&\text{entonces, para demostrar que esta funciòn es discontinua, bastarà demostrar que no todos los puntos de R hacen a la funciòn f(x) continua. Es suficiente con hallarnos un sòlo punto de R que haga que la funciòn f(x) sea discontinua. entonces: }\\&\\&\forall c \in I=(-\infty,\infty)=R: \quad \lim_{x \to c} f(x) = f(c) \\&Sea\ \ c = \ \sqrt {2}\ \ \ \ \  \text{y ademàs}\ \ \  c=\sqrt {2}\in (-\infty,\infty)=R, entonces:\\&calculemos\ \ \ el \ \ \ lìmite:\\&\\& \lim_{x \to c} f(x)= \lim_{x \to \sqrt {2}} f(x)= \lim_{x \to \sqrt {2}} f(\sqrt {2})=\infty,\text{es decir el limite no existe, ya que} \sqrt {2}\in I\ \text{y como este valor c que hemos tomado es un irracional, este no està definido en la funcion f(x), por lo tanto es discontinua en en èste punto}\ c=\sqrt{2} \text{con esto, podemos afirmar que no todos los puntos de R hacen a f(x) continua.}\\&\\&\text{por lo tanto, f(x) es discontinua}\\&\\&\end{align}$$

y listo!

Si tienes duda, me preguntas :)

·

Una función es continua en un punto si el límite coincide con el valor de la función. Pero lo que pasa con esta función es que no tiene limite en ningún punto.

Si tu tomas por ejemplo epsilon= 1/4 y un punto cualquiera xo, en cualquier intervalo de radio delta que tomes de xo vas a tener tanto números racionales como irracionales, por más pequeño que tomes el delta. Luego tendrás puntos donde la función vale 0 y otros puntos donde la función vale 1 y para epsilon =1/4 no existe ningún número que pueda ser el límite ya que no existe ningún número L que esté situado a menos de 1/4 del 0 y menos de 1/4 del 1 ya que la intersección de los intervalos (-0.25, 0.25) y (0.75, 1.25) es vacía.

Luego no existe límite en ningún punto y la función no es continua en ningún punto.

Y eso es todo.