¿Demostrar que f(x)=L si y solo si f(x+h)=L? Se los agradeceria muchisimo estoy atorada

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En cada pregunta debe ir un solo ejercicio, si no reducimos las puntuaciones recibidas a la mitad, tercera parte, etc.

El primero no es muy díficil, pero es un engorro trabajar con los símbolos matemáticos de las definiciones de límite, algo que a mano no cuesta nada escribir es un martirio en esta página.

Haré el segundo:

$$\begin{align}&\lim_{x\to x_0}\sqrt{x}=\sqrt{x_0}\iff\\&\\&\forall \epsilon\gt 0\quad \exists \delta\gt 0\;/ x\in Dom(f),0<|x-x_0|<\delta\to|\sqrt x-\sqrt{x_0}|\lt \epsilon\end{align}$$

Antes de sacar el conejo de la chistera hay que hacer unas cuentas para ver la relación que debe tener el delta con el epsilon que nos dan

$$\begin{align}&|\sqrt x -\sqrt {x_o}|=\\&\\&\left|\frac{(\sqrt x-\sqrt{x_0})(\sqrt x +\sqrt{x_0})}{\sqrt x + \sqrt{x_o}}\right|=\\&\\&\left|\frac{x-x_0}{\sqrt x + \sqrt{x_o}}\right|=\\&\\&\frac{|x-x_0|}{\sqrt x+\sqrt {x_0}}\le \frac{|x-x_0|}{\sqrt {x_0}}\\&\\&\text{tomaremos }\;\delta=\epsilon· \sqrt{x_0}\;\; \text { con lo cual}\\&\text{para los x tal que }0\lt|x-x_0|\lt \delta\\&\\&|\sqrt x- \sqrt{x_0}|\le \frac{|x-x_0|}{\sqrt{x_0}}\lt \frac{\delta}{\sqrt {x_0}}=\\&\\&\frac{\epsilon· \sqrt{x_0}}{\sqrt{x_0}}=\epsilon\\&\\&\text{resumiendo}\\&\\&|\sqrt x- \sqrt{x_0}|\lt\epsilon\end{align}$$

Luego la raíz de xo es el límite de la función raíz de x cuando x tiende a xo.

Bien, si te fijas esto sirve para todos los puntos x>0.

Para x=0 sería solo el límite por la derecha y el delta que se tomaría es epsilon^2 ya que la condición diría

$$\begin{align}&0\lt x-0\lt\delta \to |\sqrt x-0| < \epsilon\\&\\&0 \lt x \lt \delta \to \sqrt x \lt \epsilon\\&\\&\text {y tomando } \delta = \epsilon^2\\&\\&0\lt x \lt\epsilon^2\to \sqrt x\lt \epsilon\\&\\&\text{lo cual es cierto porque}\\&\text{la raíz cuadrada es creciente}\end{align}$$

Y eso es todo.