Ejercicios de aplicaciones en calculo integral

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Esto se resuelve con la fórmula de posición de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

$$\begin{align}&s(t)=\frac 12 at^2 +v_0·t+s_0\\&\\&\text{en este caso la posición es la altura y(t)}\\&\text{la aceleración es }-g=-9.8m/s^2\\&v_0=0\\&s_0 \text { lo haremos 0}\\&\\&y(t)=-\frac 12·9.8t^2 = -4.9t^2\\&\\&\text{En el instante 4 segundos el huevo estará en}\\&\\&y(4) = -4.9·4^2=-78.4m\end{align}$$

Como y(0)=0 era la parte superior del edificio, la altura es

h=0-(-78.4m) = 78.4m

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Y lo de la aplicación del cálculo integral o bien no era necesario o si lo era es para deducir la fórmula del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Vamos a hacer eso.

En un movimiento así la aceleración es una constante. La velocidad es la integral de la aceleración

$$\begin{align}&v(t) = \int a \;dt\\&\\&v(t) = at +C\\&\\&\text{para que en t=0 sea }v(0) = v_0\\&v(0) = a·0+C=v_0\implies C=v_0\\&\\&luego\\&\\&v(t) =at+v_0\\&\\&\text{y la posición es la integral de la volocidad}\\&\\&s(t)=\int at+v_0=\frac 12at^2+v_0·t+C\\&\\&\text{Y para que en t=0 sea }S(0)=S_0\\&\\&s(t)=\frac 12at^2+v_0·t+s_0\end{align}$$

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Y eso es todo.

Inicialmente no es necesario usar integrales para esto, ya que sale directo de las ecuaciones de MRUA (movimiento rectilíneo uniformemente acelerado).

Las principales ecuaciones son:

$$\begin{align}&y(t)=y_0 + v_0t + \frac{1}{2} a t^2\\&v(t) = v_0 + at\\&En\ este\ caso,\ considerando\\&y_0 = 0 \ (desde\ donde\ suelta\ el\ huevo)\\&v_0 = 0\ (el\ huevo\ lo\ "suelta"\ \sin\ velocidad\ inicial)\\&a = g = 9,8 m/s^2\\&Reemplazando\ 4s\ en\ y(t)\ tenemos\\&y(4)=+ \frac{1}{2} 9,8 m/s^2*(4s)^2=78,4m\\&\end{align}$$

Como consideré la gravedad positiva (hacia abajo), el valor de la altura del edificio quedó directamente con el signo correcto.