Como debe realizarse este ejercicio de distribución de probabilidad.

La probabilidad de un lanzamiento exitoso es igual a 0.8. Supongamos que se hacen ensayos de lanzamientos hasta que han ocurrido 3 lanzamientos exitosos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean necesarios 6 ensayos?

b) Suponga que se hacen los ensayos de lanzamientos hasta que ocurren 3 lanzamientos exitosos consecutivos. Responda la pregunta (a) en este caso.

c) Suponga que cada uno de los ensayos de lanzamiento cuesta $5000. Ademas, un lanzamientos que fracase produce un costo adicional de $500. Calcule el costo esperado para obtener los 3 lanzamientos exitosos.

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Para que el tercer éxito tenga lugar en el sexto intento ha debido haber 2 aciertos entre los 5 primeros y el secto debe ser éxito. La probabilidad de 2 aciertos entre los 5 primeros se calcula como la de una binomial B(5, 0.8)

$$\begin{align}&P(2) = \binom 520.8^2·0.2^3=10·0.8^3·0.2^3\\&\\&\text{antes de operar, multiplicamos por el}\\&\text{0.8 de acertar en el sexto intento}\\&\\&P=10·0.8^3·0.2^3=10·0.16^3=0.04096\end{align}$$

b)

Deben ser los tres primeros fallidos y los tres siguientes exitosos, luego la probabilidad es

0.2^3 · 0.8^3 = 0.16^3 = 0.004096

c)

Espera, que esta pregunta ya es sería. Hay que darse cuenta que la distribución que calcula la probabilidad de que suceda r-esimo éxito en el intento x se llama distribución binomial negativa.

Y no es sencillo de demostrar pero la teoría dice que la esperanza de esa distribución donde se quiere obtener el éxito r-esimo y la probabilidad de éxito es p es

E[X] = r/p

Luego la esperenza de los intentos es

E[X] = 3/0.8 = 3.75

Luego el costo esperado es

3.75 · $5000 + 0.75 · $500 = $18750 + $375 = $19125

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Y eso es todo.

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