Ejercicio prob (una maquina...

a)

Sea p la probabilidad auténtica de éxito que tiene una máquina, vamos a calcular su probabilidad de superar la prueba.

La prueba es una binomial con N=20

P(20 aciertos) = C(20,20)·p^20 = p^20

P(19 aciertos) = C(20,19)·p^19·(1-p) = 20p^19 - 20p^20

P(18 aciertos) = C(20,18)·p^18·(1-p)^2 = 190p^18 - 380p^19 + 190p^20

P(Superar la prueba con p) = p^20 + 20p^19 - 20p^20 + 190p^18 - 380p^19 + 190p^20 =

171p^20 - 360p^19 + 190p^18

Ahora consideraremos todas las máquinas con p entre 0,9 y 1 y calcularemos su probabilidad de superar la prueba.

Por ejemplo, si p = 1 tendremos

P(superar con p=1) = 171 - 360 + 190 = 1

Si p = 0.9

P(superar con p=0.9) = 171·0.9^20 - 360·0.9^19 + 190·0.9^18 = 0.67696268052

Dividiríamos en intervalo [0.9, 1] en n partes y calcularíamos la suma de la probabilidad de superar en cada uno por la probabilidad de ese intervalo. Todo ello con n muy grande.

$$\begin{align}&P(superar\;con \;0.9\le p \le 1)=\\ &\\ &\lim_{n \to \infty}\frac{1}{0.1n}\sum_{i=1}^nP\left(superar\;con\; p=0.9+\frac{0.1i}{n}\right)=\\ &\\ &\\ &10\int_{0.9}^1P(superar\;con\;p)dp =\end{align}$$

$$\begin{align}&10\int_{0.9}^1 171p^{20}-360p^{19}+190p^{18}dp=\\ &\\ &\\ &10\left[ \frac{171}{21}p^{21}-\frac{360}{20}p^{20}+\frac{190}{19}p^{19} \right]_{0.9}^1 =\\ &\\ &\\ &10\left[ \frac{57}{7}p^{21}-18p^{20}+10p^{19} \right]_{0.9}^1 =\\ &\\ &10\left(\frac {57}{7}-18+10 -\frac{57·0.9^{21}}{7}+18·0.9^{20}-10·0.9^{19}\right)=0.894020106\end{align}$$

Hemos calculado la probabilidad de que siendo buena supere la prueba, luego la probabilidad de que no la supere es 1 menos eso

P(No superar siendo buena) = 1-0.894020106 = 0.105979984

b) Basta con sustituir 0.8 en la fórmula que calculamos al principio.

P(Superar la prueba con p) = 171p^20 - 360p^19 + 190p^18

P(Superar la prueba con p=0.8) = 171·0.8^20 - 360·0.8^19 + 190·0.8^18 = 0.2060847189

Y eso es todo.