Encontrar y clasificar los puntos de discontinuidad de:
$$\begin{align}&e) f(x)=\frac{1}{senx}\\&\\&g) f(x)= \sqrt{\frac{1+senx}{1-senx}}\ en\ [0;2\pi]\end{align}$$Las respuestas son:
$$\begin{align}&e) Disc. Esencial\ en\ x=k\pi,\ con\ k \in Z\\&g) Disc. Esencial\ en\ x=\frac{\pi}{2} \\&\end{align}$$Quisiera saber como llegar a estos resultados.
2 Respuestas
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Dada una función
h(x) = f(x) / g(x)
Los puntos de discontinuidad son los puntos de discontinuidad de f(x), los de g(x) y aquellos donde g(x)=0
En el caso de
h(x) = 1 / senx
tanto la función f(x)=1 como g(x)=senx son continuas y solo serán puntos de discontinuidad aquellos donde senx=0 que son
x = k·Pi con k€Z
Son discontinuidades esenciales porque la función tiene límite infinito en esos puntos.
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En el segundo caso la función es continua si el radicando es continuo, luego tenemos un caso como el anterior.
f(x) = (1+senx)/(1-senx)
Tanto numerador como denominador son funciones continuas y solo habrá puntos de discontinuidad donde el denominador sea 0
1-senx=0
senx=1
En el intervalo [0, 2pi] solo hay una solución:
x = pi/2
Luego ese el único punto de discontinuidad, que es esencial porque el límite de la función en él es
raíz(2/0) = infinito
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Y eso es todo.
Maar Hammet!
Solo hay que buscar los puntos donde la fracción no está definida, es decir cuando el denominador vale 0, ya que k/0=infinito
Así:
$$\begin{align}&e) f(x)=\frac{1}{senx}\\&\\&senx=0 \Rightarrow x=0, \pi, 2 \pi....=k \pi\\&\\&\\&f)y=\sqrt{\frac{1+senx}{1-senx}}\\&\\&1-senx=0 \Rightarrow senx=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}\end{align}$$