Sea la función F(x). Halla dominio, puntos de corte con los ejes y asíntotas.

$$f(x)= \frac{2x+1}{3-x}$$

El Dom lo saque pero hallando los puntos de corte no se que coordenadas poner para el eje OY y el eje OX y las asíntotas tampoco estoy aclarada. Me gustaría que me lo explicara no solo para esta función sino para cualquiera.

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En una función que es cociente de dos funciones continuas (y los polinomios son funciones continuas por excelencia) el dominio es la intersección de los dominios menos los puntos donde el denominador se hace cero.

En este caso numerador y denominador tienen por dominio todo R, luego su intersección es R y le quitamos el punto 3 que es donde se anula el denominador.

Dom f = R-{3}

Los puntos de corte con el eje OX son los que se aquellos en los que la coordenada y vale cero, luego donde la y=f(x) ponemos cero y resolvemos la ecuación

(2x+1) / (3-x) = 0

2x+1 = 0

2x = -1

x=-1/2

Luego el punto de corte con OX es (-1/2, 0)

Y los puntos de corte con el eje OY son aquellos en que x=0, luego sustituimos x por 0 y queda

y (2·0 + 1)/(3 - 0) = 1/3

Luego el corte con OY es (0, 1/3)

Una asíntota vertical es una recta vertical a la que tiende la función en un punto finito.

Se da en un punto b donde el límite de la función es infinito al tender x a b. Y en el caso de cociente de funciones continuas se dará en los puntos donde se anula el denominador, siempre que no se anule el numerador simultáneamente.

Ya sabemos que aquí el numerador se anula en x=3 mientra que el numerador vale 7 en ese caso. El limite tiene la forma 7/0 que es infinito

Luego la asíntota vertical es la recta

x=3

Un asíntota horizontal es una recta horizontal a la que la función tiende cuando x tiende a infinito. Aquí hay que distinguir -infinito y +infinito porque pueden ser dos asíntotas distintas.

Ya sabemos que cuando dos polinomios tiene el mismo grado, el límite del cociente en el infinito es el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado.. Además puede comprobarse que en el caso de cociente de polinomios si existe el límite en +infinito existe también en -infinito y es el mismo, luego la asíntota horizontal es única.

lím f(x) x-->+inf de (2x+1) / (3-x) = 2/(-1) = -2

Luego la asíntota horizontal es la recta

y=-2

La asíntota oblicua es una recta ni horizontal ni vertical a la que tiende la función cuando la x tiende a infinito. Se deben distinguir los casos +infinito y -infinito, aunque para cociente de polinomios se demuestra que es la misma

La asíntota horizontal tiene por ecuación esta

y= px + n

donde

p = lim x-->+-infinito de f(x) / x

Y tiene que ser p un número real distinto de cero.

Si se da esto calculamos n mediante

n = lim x --> +-infinito de f(x) - px

Vuelvo a recordar que para nuestra función será lo mismo en + infinito y -infinito, pero en general hay que hacer los cálculos con ambos porque pueden ser dos asíntotas distintas

Y hay una regla que dice cuando existe asíntota horizontal en uno de los infinitos no existe asíntota oblicua en ese infinito.

De todas formas puedes calcularla, el valor de p te dará cero que hemos dicho que no servía.

Luego en resumen, que no hay asíntotas oblicuas.

Y eso es todo.

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