Anónimo
¿Cuál es el resultado del límite de esta función matricial?
$$\lim_{x\rightarrow \inf} \begin{pmatrix}1&\frac{1}{x}\\\frac{-1}{x} & 1\end{pmatrix}^x$$
2 Respuestas
El editor de ecuaciones de esta página no es muy bueno, pero simplemente podemos decir que el límite sería
1.............lim (1/x)
-(1/x).........1
Todo elevado a la x, cuando x tiende a infinito, esto tiende a
1... 0
0... 1
Elevado a la infinito
Y esto tiende a la identidad.
Ojo. Hay una indeterminación que es 1^(infinito), pero no es este caso ya que los valores de la diagonal no son valores que "tienden" a 1, sino que directamente es 1, y acá es directamente 1.
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El límite de la matriz será la matriz de los 4 límites.
Los limites de la constante 1 elevado a la infinito son 1 ya que cualquier potencia de la constante 1 es 1. Otra cosa sería si el 1 no fuese una constante sino una expresión que tuviera límite 1, entonces es cuando hay indeterminación.
Y los elementos 1/x tienden a 0. Luego el límite es la matriz
(1 0)
(0 1)
La matriz identidad.
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Y eso es todo.
Y el elevar a la x no me afecta el límite?
No, la constante 1 elevada a cualquier potencia K, por grande que sea, es 1, luego para cualquier K tendremos que si x>K se cumple
|1^x - 1| = |1-1| = 0 < épsilon
Que es la definición de que el límite de 1^x cuando x tiende a infinito es 1.