¿Cómo resolver la integral? Con procedimiento
Cómo se hallan las integrales de:
a) Sec(x)
b) Sec^2(x)
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La primera contra lo que pueda parecer es bastante difícil, se necesita el cambio trigonométrico universal que deja todo en función de los ángulos mitad y luego es complicado transformar eso en ángulos normales.
El cambio trigonométrico universal tiene su teoría que yo no voy a explicar aquí, simplemente usaré los resultados de ella.
$$\begin{align}&\int \frac{dt}{cost}=\\&\\&tg \frac t2=u\\&\\&\text{las dos fórmulas de abajo se pueden}\\&\text{deducir pero las copio de un libro}\\&\\&cost=\frac{1-u^2}{1+u^2}\\&\\&dt = \frac {2du}{1+u^2}\\&\\&=\int \frac{1+u^2}{1-u^2}·\frac {2du}{1+u^2}=\int \frac{2du}{1-u^2}=\\&\\&\int \frac{2du}{(1+u)(1-u)}=\int \frac{du}{1+u}+\int \frac{du}{1-u} =\\&\\&ln|1+u| - ln|1-u| =\\&\\&ln\left|1+tg \frac t2\right|-ln\left|1-tg \frac t2\right|=\\&\\&ln\left|\frac{1+tg \frac t2}{1-tg \frac t2} \right|=ln \left|\frac{\left(1+tg \frac t2\right)^2}{1-tg^2 \frac t2}\right|=\\&\\&ln\left|\frac{\frac{(\cos \frac t2+sen \frac t2)^2}{\cos^2 \frac t2}}{\frac{\cos^2 \frac t2-sen^2 \frac t2}{\cos^2 \frac t2}} \right|=ln\left|\frac{1+2cos \frac t2sen \frac t2}{cost}\right|=\\&\\&ln\left|\frac{1+sent}{cost} \right|=ln\left|sec\,t+tg\,t \right|\\&\\&\end{align}$$Tal vez haya corrido mucho en algún paso pero es que el editor de ecuaciones es mortal y si escribes mucho no funciona apenas. Por eso las integrales que son un poco largas no da gusto hacerlas.
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La segunda es directa, la derivada de la tangente es la secante al cuadrado, luego la integral de la secante al cuadrado es la tangente más alguna constante.
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Y eso es todo.
Un error de escritura, en la segunda quise decir (sec^3(x)). Saludos.
Entonces manda otra pregunta nueva para ella sola, que ya no es un ejercicio trivial seguramente.
1 respuesta más de otro experto
;) Integral de la secante, con sustitución, y descomposición en fraciones simples
$$\begin{align}&senx=t\\&cosxdx=dt\\&\\&\int secxdx= \int \frac 1 {cosx}dx=\int \frac{cosx}{\cos^2x}dx=\int \frac{cosx dx}{1-sen^2x}=\\&\\&\int \frac {dt}{1-t^2}=\int \frac{dt}{(1+t)(1-t)}=\\&\\&\frac 1 2 \int \frac{dt}{1+t}+ \frac 1 2 \int \frac {dt}{1-t}= \frac 1 2 ln |1+t|- \frac 1 2 ln |1-t|=\\&\\&\frac 1 2 ln \Bigg | \frac{1+senx}{1-senx} \Bigg|= ln \sqrt{ \frac{1+senx}{1-senx}·\frac {1+senx}{1-senx}}=\\&\\&ln \sqrt{\frac{(1+senx)^2}{1-sen^2x}}=ln \Bigg| \frac{1+senx}{cosx}\Bigg|=ln|secx+tgx|+C\end{align}$$;)
;)