¿Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la funcion f(x)=x-1/x+1?

La expresión general de una recta es de la forma y = mx + b donde m es la pendiente de la recta, a ti te piden que forme un ángulo de Pi/4 con la horizontal, este ángulo es 45° cuya tangente es 1, por lo que en realidad te dicen que m = 1, luego la expresión de la recta será y = x + b; pero falta saber cuanto debe valer b

Lo que hay que ver para que valor de x, f'(x) vale Pi/4 y cuanto vale la función en ese punto (recuerda que la derivada es la ecuación de la recta tangente a la función).

$$\begin{align}&f(x) = {x-1 \over x+1} = (x-1)(x+1)^{-1}\\&f'(x)=(x+1)^{-1}+(x-1)(-1)(x+1)^{-2}={1 \over x+1}-{x-1 \over (x+1)^2}={x+1-x+1 \over (x+1)^2}={2 \over (x+1)^2}\\&Simplificando \; la\; expresion\; tenemos\\&f'(x)={2 \over (x+1)^2}\\&{\pi \over 4} = {2 \over (x+1)^2}\\&(x+1)^2 = {8 \over \pi}\\&x + 1 = \pm \sqrt{8 \over \pi}\\&x  = \pm \sqrt{8 \over \pi}-1\\&x_1 \approx 0,596 \lor x_2 \approx -2,596\\&Luego \\&f(x_1) = f(0,596) = -0.253\\&f(x_2) = f(-2,596) = 2.253\\&\\&\\&\end{align}$$

Volviendo a las rectas, vamos a tener 2 rectas posibles, 

$$\begin{align}&y = x + b\\&-0.253 = 0.596 + b_1 \rightarrow b_1 = -0.849\\&2.253 = -2.596 + b_2 \rightarrow b_2 = 4.849\\&\\&Así\; las\; rectas\;son:\\&y_1 = x - 0.849\\&y_2 = x + 4.849\end{align}$$

Utilizaremos la ecuación de la recta llamada punto-pendiente, que permite escribir la ecuación de la recta cuando conoces un punto y la pendiente.

Es de la forma:

$$\begin{align}&y-y_o=m(x-x_o)\end{align}$$

donde (x_o,y_o) será el punto de tangencia

Y

M la pendiente de la recta tangente.

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la horizontal. Aquí pi/4 radianes= 45º

tg45º=1=m

Por otro lado sabemos que la pendiente de la recta tangente en un punto de la función es la derivada de la función en ese punto.

Luego calcularemos la derivada y la igualaremos a 1 y así poder calcular el punto de tangencia.

$$\begin{align}&y=\frac{x-1}{x+1}\\&\\&y'=\frac{1(x+1)-1(x-1)}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}\\&\\&y'=1 \Rightarrow \frac{2}{(x+1)^2}=1 \Rightarrow 2=(x+1)^2\\&\\&Dos\ soluciones:\\&x+1=\sqrt 2\\&x+1=- \sqrt 2 \\&\\&De \ x+1= \sqrt 2 \Rightarrow x=\sqrt 2 -1 \Rightarrow \\&f(\sqrt 2 -1)=\frac{\sqrt 2-1-1}{\sqrt 2 -1+1}=\frac{\sqrt 2-2}{\sqrt 2}=racionalizando=\\&\\&\frac{\sqrt 2-2}{\sqrt 2}·\frac{\sqrt 2}{\sqrt 2}=\frac{2-2 \sqrt 2}{2}=1-\sqrt 2\\&punto Tangencia_1\\&T=(\sqrt 2-1,1- \sqrt 2)\\&recta \ tangente_1:\\&y-(1-\sqrt 2)=1(x- \sqrt 2 +1)\\&\\&Punto \ Tangencia_2\\&x=-1-\sqrt 2\\&f(-1- \sqrt 2)=\frac{-1-\sqrt 2 -1}{-1+\sqrt 2+1}=\frac{-2-\sqrt 2}{-\sqrt 2}=\frac{2+\sqrt 2}{\sqrt 2}=\\&racionalizando\\&\frac{2+\sqrt 2}{\sqrt 2}·\frac{\sqrt 2}{\sqrt 2}=\frac{2 \sqrt 2 +2}{2}=\sqrt 2 +1\\&\\&T_2(-1-\sqrt 2 , \sqrt 2 +1)\\&Recta \ Tangente_2:\\&\\&y-(\sqrt 2 +1)=1(x+1+ \sqrt 2)\\&\\&\end{align}$$

Espero que te sirva y que lo hayas entendido. Si no pregúntame

·

Si una recta forma un ángulo de Pi/4 con la horizontal su pendiente es 1 y la curva que tenga esa recta como tangente tendrá derivada 1 en ese punto. Luego derivaremos la función y veremos en que puntos la derivada vale 1

$$\begin{align}&f(x) = \frac{x-1}{x+1}\\&\\&f'(x) = \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}\\&\\&\frac{2}{(x+1)^2}=1\\&\\&2=(x+1)^2\\&\\&x+1=\pm \sqrt 2\\&\\&x=-1\pm \sqrt 2\\&\\&\text{Ya conocemos los puntos.  Las tangentes serán}\\&\\&y=y_0+f'(x_0)(x-x_0)\\&\\&y= f(-1 \pm \sqrt 2) + 1[x -(-1\pm \sqrt 2)]\\&\\&y= f(-1 \pm \sqrt 2) + x +1\mp \sqrt 2\end{align}$$

De ahi salen las dos ecuaciones, fijate que la primera tendrá un signo + y el otro - y la otra tendrá un signo - y el otro +.  Te lo dejo como ejercicio, si no te sale me lo dices.