Buenas noches tengo dudas con estas : Calcule las siguientes integrales.

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Llevamos la norma de hacer un solo ejercicio por pregunta, en integrales o derivadas contestamos dos como máximo. Luego las otras dos las tendrías que mandar en un pregunta nueva.

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Esta integral es directa sin más que usar esta fórmula:

$$\begin{align}&\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\\&\\&\text {y las propiedades de linealidad}\\&\\&\int[c·f(x)+k·g(x)]dx=\\&\\&c·\int f(x)dx+k·\int g(x) dx\\&\\&\text{donde c y k son constantes}\\&\\&\\&\int_0^3 \left(\frac 12 x^3 - 2x^2 + x + 3\right) dx=\\&\\&=\left[\frac 12·\frac{x^4}{4}-2·\frac{x^3}{3}+\frac {x^2}2+3x  \right]_0^3=\\&\\&\frac{81}{8}-18+\frac 92+9-0+0-0-0=\\&\\&\frac{81+36}{8}-9=\frac{117-72}{8}=\frac {45}8{}\end{align}$$

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Y la segunda se resuelve por sustitución. Yo siempre hago el cambio de los extremos de integración a la vez que el cambio de variable, de esta forma la integral en t queda con sus extremos correctos y ya no hay que deshacer el cambio para hacer la evaluación.

$$\begin{align}&\int_2^6 \frac{x\,dx}{\sqrt{5x^2+1}}  =\\&\\&t=5x^2+1\\&dt=10x\,dx\implies x\,dx=\frac{1}{10}dt\\&x=2\implies t=5·2^2+1=21\\&x=6\implies t=5·6^2+1=181\\&\\&=\int_{21}^{181}\frac 1{10}·\frac{1}{\sqrt t}dt=\\&\\&\frac 1{10}\int_{21}^{181}t^{-\frac 12}dt=\\&\\&\left.\frac 1{10} \frac{t^{\frac 12}}{\frac 12} \right|_{21}^{181}=\left.\frac{\sqrt t}{5}\right|_{21}^{181}=\frac{\sqrt{181}-\sqrt{21}}{5}\end{align}$$

Y eso es todo.