Calcula la varianza de (matemáticas)

Como te decía antes

$$\begin{align}&\sigma^2=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)dx=\\&\\&\text{pero puede simplificarse algo}\\&\\&=\int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x) dx-\mu^2\\&\\&\text {calculemos la indefinida de la integral}\\&\\&\int x^2·\frac 14e^{-\frac x4}dx=\\&\\&u=x^2\quad\quad\quad\quad\quad du=2x\,dx\\&dv=\frac 14e^{-\frac x4}dx\quad\quad v=-e^{-\frac x4}\\&\\&=-x^2e^{-\frac x4}+\int 2xe^{-\frac x4}dx=\\&\\&u=2x\quad\quad\quad\quad du=2dx\\&dv=e^{-\frac 4x}dx\quad\quad v=-4e^{-\frac 4x}\\&\\&=-x^2e^{-\frac x4}-8xe^{-\frac x4}+\int 8e^{-\frac x4}dx=\\&\\&-x^2e^{-\frac x4}-8xe^{-\frac x4}-32e^{-\frac x4}=\\&\\&(-x^2-8x-32)e^{-\frac x4}\\&\\&\text {ahora la evaluamos entre 0 y }\infty\\&\\&\left.(-x^2-8x-32)e^{-\frac x4}\right|_0^{\infty}=\infty^2·e^{-\infty}+32e^0 = 32\\&\\&\text{ya que es }\frac{\infty^2}{e^{\infty}} \text{y el denominador es un infinito}\\&\\&\text{dominante sobr el del numerador.  Y finalmente:}\\&\\&\sigma^2=32-\mu^2=32-16=16\\&\end{align}$$

Y sabemos que la fórmula está bien, pero por si acaso he hecho con ordenador la integral de (x-4)^2·f(x) y ha dado 16, luego está bien.

Y eso es todo.