¿Cuál es la derivada de la función f(x)= -1/38x^3+9.6x^2-25?

¿Cuál es la derivada de la función?

  1. La derivada de la función, lo más simplificada posible.
  2. Los valores críticos de la función.
  3. Si los valores críticos son máximos o mínimos. Para ver cuál es máximo y cual mínimo calculamos la derivada segunda.
  4. Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función así como los de concavidad
  5. Los puntos de inflexión

2 Respuestas

Respuesta
1

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1)

La derivada es:

$$\begin{align}&f'(x)=-\frac 3{38}x^2+19.2x\\&\\&\text{o si les parece más simplicado esto, adelante}\\&\\&f'(x) = \left(\frac 3{38}x+19.2  \right)x\end{align}$$

2)

Los valores criticos de la función son los que anulan la derivada primera. Para ellos tomaremos mejor la segunda expresión y los valores críticos son los que anulan a alguno de los factores.

Para anular al factor x debe ser x=0 ese es un punto crítico.

Y el otro sale de hacer

-(3/38)x + 19.2 = 0

(3/38)x = 19.2

x = 19.2 · 38 / 3 = 243.2

Luego los puntos críticos son x=0  y  x=243.2

·

3) 

Hallamos la derivada segunda para calcular si son máximos o mínimos porque nos lo dicen, pero a veces se puede deducir sin calcularla.

f ''(x) = -(6/38)x + 19.2 = - (3/19)x + 19.2

y calculamos el valor de la derivada segunda en los puntos críticos

f ''(0) = -(3/19)·0 + 19.2 = 19.2

como es un valor positivo, x=0 es un mínimo relativo

f ''(243.2) = -(3/19)(243.2) + 19.2 = -19.2

Como es un valor negativo tenemos que x=243.2 es un máximo relativo

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4)

Los intervalos de crecimiento o decrecimiento están delimitados por las raíces de la derivada primera. El cálculo del signo se hace sabiendo como es la gráfica de un polinomio de grado 2 con coeficiente de x^2 negativo o tomando un punto interior de cada intervalo y calculando el valor de la derivada primera en él.

Esta segunda forma te la dejo a ti como ejercicio si no te convence la primera.

Entonces la forma de calcular el signo de la derivada primera es esta:

f'(x) = -(3/38)x^2 + 19.2x

Es una parábola con el vértice hacia arriba. Empieza por la izquierda valiendo -infinito, cruza a positivo cuando llega a la raíz x=0, sigue siendo positivo hasta llegar a la otra raíz x=243.2 y termina en negativo hasta llegar a - infinito.

Luego los intervalos son

(-oo, 0)         f'(x)<0 ==> f decreciente

(0,  243.2)    f'(x)>0 ==> f creciente

(243.2,  oo)  f'(x)<0 ==> f decreciente

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Los intervalos de concavidad y convexidad los delimitan las raíces de la derivada segunda

f ''(x) = - (3/19)x + 19.2

- (3/19)x + 19.2 = 0

(3/19)x = 19.2

x=19.2 · 19/3 = 121.6

Ese es el punto de inflexión x=121.6

Y el signo de la derivada segunda viene dado porque es una recta con pendiente negativa, que empieza valiendo infinito y llega a -infinito, luego antes de la raíz es positivo y después negativo

(-oo, 121.6)  f ''>0  ==> f es cóncava hacia arriba,  forma de U

(121.6, oo)   f''<0  ==> f es cóncava hacia abajo,  foma de iglú.

·

5) El punto de inflesión ya se había calculado antes x=121.6, si quieres calcular la coordenada y del punto calculas f(121.6) te lo dejo como ejercicio.

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Y eso es todo.

Respuesta
1

Te anexo el resultado de la derivada:

$$\begin{align}&f(x) = \frac{-1}{38}x^3 + 9.6x^2-25\\& \\&f(x) = \frac{-3}{38}x^2 + 19.2x\end{align}$$

Eso es lo más simplificado.

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