¿Cómo determino la tasa de cambio y el criterio de la primera derivada?

$$\begin{align}& \end{align}$$

¡Hola Anónimo!

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La tasa de cambio respecto a una variable es la derivada de la función respecto de esa variable.

Tenemos la función p que depende de q, entonces la tasa de cambio de p respecto de q es la derivada de p respecto de q

p(q) = 100-q^2

p'(q) = -2q

Cuando q=5 la tasa de cambio es

p'(5) = -2·5 = -10

Quiere decir que por cada unidad más que se produce el precio disminuye en 10

Y el precio cuando se demandan 5 unidades es

p(5) = 100 - 5^2 = 100 - 25 = 75

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Segunda parte.

C(q) = 0.05q^2 + 5q + 500

a) El costo de producir 12 piezas es

C(12) = 0.05 · 12^2 + 5 · 12 + 500 =

0.05 · 144 + 60 + 500 =

7.2 + 60 + 500 = 567.2

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b) El costo promedio es la función costo dividida entre p

CP(q) = 0.05q + 5 + (500/q)

Y en el costo promedio para 12 piezas en vez de emplear la función así, como ya calculamos antes el costo lo dividiremos entre 12

CP(12) = C(12) / 12 = 567.2 / 12 = 47.2666666

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c) El costo marginal es la derivada de la función costo

CMarg(q) = C'(q) = 0.1q + 5

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d) Para calcular el mínimo del costo promedio derivamos el costo promedio e igualamos a 0

CP(q) = 0.05q + 5 + (500/q)

CP'(q) = 0.05 - (500/q^2) = 0

-500/q^2 = -0.05

500/0.05 = q^2

q^2 = 10000

q=100

Luego deben fabricarse 100 unidades, y el costo promedio mínimo será

CP(100) = 0.05 · 100 + 5 + 500/100 = 5+5+5 =15

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e) La derivada del costo promedio tenía raíces -100 y 100, y lo malo es que en 0 es discontinua, pero entre 10 y 25 es continua y no tiene ninguna raíz, luego el signo es constante, vamos a calcularlo en 10 por ejemplo

CP'(10) = 0.05 - 500/10^2 = 0.05 - 500/100 = 0.05 - 5 = -4.95

Como la derivada es negativa, el costo promedio es decreciente.

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Tercera parte

f(x) =(x^2-x-1)^2

Derivamos e igualamos a 0

f '(x) = 2(x^2-x-1)(2x-1) =0

Esto tiene tres raíces

de 2x-1=0 obtenemos x=1/2

de x^2-x-1 = 0 obtenemos

$$\begin{align}&x=\frac{1\pm \sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\\&\\&\text{les voy a poner nombre para citarlos }\\&\text{fuera del editor}\\&\\&r=\frac{1-\sqrt 5}{2}\\&\\&s=\frac{1+\sqrt 5}{2}\end{align}$$

Para saber si son mínimos, máximos o puntos de inflexión necesitamos la derivada segunda

f ''(x) = 2(2x-1)(2x-1) + 4(x^2-x-1)

f ''(x) = 2(2x-1)^2 + 4(x^2-x-1)

Para x=1/2 tenemos

f ''(1/2) = 2·0^2 + 4(1/4-1-1) = 4(-7/4) = -7

es negativa, luego x=1/2 es un máximo

Y el valor de la función en ese máximo es

f(1/2) = (x^2-x-1)^2 = (-7/4)^2 = 49/16

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Para r tenemos

$$\begin{align}&f''\left(\frac{1- \sqrt 5}{2}\right)=2(-\sqrt 5)^2+ 4·0= 10\\&\\&f''\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right)= 2(\sqrt 5)^2 = 10\end{align}$$

Como la derivada segunda es positiva ambos son mínimos.

Y como los dos satisfacen x^2-x-1=0 entonces

f(r) = f(s) = 0^2 = 0

y los mínimos son

(r, 0) y (s,0)

Y no hay puntos críticos con derivada segunda nula, luego no hay puntos de iinflexión

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Los intervalos de crecimiento o decrecimiento dependen del signo de la derivada primera

f '(x) = 2(x^2-x-1)(2x-1)

Que sabemos tiene las raíces r, 1/2, s

Y están en ese orden porque si los calculamos tenemos

r = -0.618...

s = 1.618...

Luego se plantean estos 4 intervalos.  Denotare por oo al infinito.

(-oo, r) en -oo el límite es 2(-oo)^2·(-oo) = 2·oo·(-oo) = -oo  luego la función es decreciente

(r, 1/2) calculamos en x=0 y es 2·(-1)(-1) = 2 luego la función es creciente

(1/2, s) calculamos en x=1 y es 2(-1)(1) = -2 luego f es decreciente

(s,oo) en infinito el límite es 2(oo)^2 · oo = 2·oo·oo = oo luego f es creciente

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La concavidad hacía arriba (forma de U) será cuando la derivada segunda sea positiva y si es negativa será cóncava hacia abajo.

f ''(x) = 2(2x-1)^2 + 4(x^2-x-1)

Esta expresión que vino bien para los cáculos de antes no sirve ahora

f ''(x) = 8x^2 - 8x + 2 + 4x^2 - 4x - 4

f ''(x) = 12x^2 - 12x - 2

las raíces son

$$\begin{align}&x=\frac{12\pm \sqrt{12^2+4·48}}{24}=\frac{12\pm \sqrt {336}}{24}\\&\\&\frac{12\pm 4 \sqrt{21}}{24}=\frac{3\pm \sqrt{21}}{6}\\&\\&\\&u=\frac{3- \sqrt{21}}{6}\\&\\&v=\frac{3+ \sqrt{21}}{6}\end{align}$$

Y como f'' es una parábola con coeficiente director positivo tiene forma de u, por lo tanto es positiva a los lados de la raíces y negativa entre ellas, luego

(-Oo, u) es cóncava hacia arriba

(u, v) es cóncava hacia abajo

(v, oo) es cóncava hacia arriba.

Aunque esto vieniera disfrazado de un solo ejercicio con tres partes ha sido extremadamente largo y se tendría que haber mandado en tres ejercicios, no volveré a hacer otro de este estilo y dificultad si no se trocea.