Utiliza el criterio de la primer derivada para determinar máximos y mínimos
Utiliza el criterio de la primera derivada para determinar los valores máximos y mínimos de la función
$$\begin{align}&y=(x^2-x-1)^2\end{align}$$. Determina también los puntos de inflexión, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los de concavidad.
2 respuestas
Roberto Avila!
$$\begin{align}&y=(x^2-x-1)^2\\&\\&y'(x)=2(x^2-x-1)(2x-1)\\&\\&y'=0 \Rightarrow \\&x^2-x-1=0 \Rightarrow x_1=\frac{1-\sqrt{5}}{{2}}=-0,62 \\&\\&x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{{2}}=1,62\\&\\&2x-1=0 \Rightarrow x_3=0,5\\&Crecimiento:\\&(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{{2}}) \Rightarrow f'(-10)<0\Rightarrow decreciente\\&(\frac{1-\sqrt{5}}{{2}},\frac{1}{2}) \Rightarrow f'(-0.6)>0\Rightarrow creciente\\&(\frac{1}{2},\frac{1+\sqrt{5}}{{2}}) \Rightarrow f'(1)<0 \Rightarrow decreciente\\&(\frac{1+\sqrt{5}}{{2}}, \infty) \Rightarrow f'(10)>0 \Rightarrow creciente\\&\\&Minimos(-0.62,0) \ i \ (1.62,0)\\&Max \ x=0.5\\&\\&Concavidad\\&y''=2(2x-1)(2x-1)+2(x^2-x-1)2=12x^2-8x-2\\&\\&y''=0 \Rightarrow x=\frac{4 \pm \sqrt{40}}{12}\\&x_1=0.86\\&x_2=-0.19\\&Intervalos:\\&(-\infty;-0.19) \Rightarrow f''(-3)>0 hacia \ arriba\\&(-0.19;0.86)\Rightarrow f''(0)<0 \ hacia abajo\\&(0.86; \infty)\Rightarrow f''(10)>0\end{align}$$Luego hay dos puntos de inflexion en x=-0,19 i x=0,86
$$\begin{align}& \end{align}$$¡Hola Roberto!
·
Los puntos de máximos y minimos relativos tienen derivada 0, la calculamos e igualamos a 0
y' = 2(x^2-x-1)·2x = 4x^3-4x^2-4x = 0
Hay una respuesta inmediata que es x=0
dividimos entre 4x para calcular las otras dos
x^2 - x - 1 = 0
$$\begin{align}&x=\frac{1\pm \sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm \sqrt 5}{2}\end{align}$$La derivada segunda es
y'' = 12x^2 - 8x - 4
Para x=0 tenemos
y''(0) = -4, luego x=0 es un máximo
Para los otros dos puntos sabemos que cumplen
x^2-x-1=0
luego
y = (x^2-x-1)^2 = 0^2 = 0
Y como y es siempre positiva cuando vale 0 es un mínimo.
·
El valor de la función en 0 es
y(0) = (-1)^2 = 1
Luego el máximo es (0, 1)
Y los mínimos son esos dos puntos raros que calculé y el valor de la función en ellos es 0
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Los intervalos de crecimiento son aquellos donde la derivada primera es positiva
Ya hemos calculado los puntos donde la derivada es 0, en los intervalos entre ellos la derivada tendrá signo constante. El cálculo del signo en cada tramo lo puedes calcular evaluando un punto de ese tramo. Yo lo haré por alternacia de signos mientras no haya raíces dobles y sabiendo que un polinomio de grado 3 tiene limite -infinito cuando x tiende a - infinito
$$\begin{align}&y' = 4x^3-4x^2-4x\\&\\&\left(-\infty,\frac{1-\sqrt 5}{2}\right) \text{es negativa luego y decrece}\\&\\&\left(\frac{1-\sqrt 5}{2},0\right)\text{es positiva luego y crece}\\&\\&\left(0,\frac{1+\sqrt 5}{2}\right)\text{es negativa luego y decrece}\\&\\&\left(\frac{1+\sqrt 5}{2},\infty\right)\text{es positiva luego y crece}\end{align}$$----------------
Puntos de inflexión no hay porque ya se dedujo que los puntos quie anulaban la derivada primera eran dos mínimos y un máximo.
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No hablaré de concavidad y convexidad porque no hay un criterio universal de cuál es una y otra. Hablaré de concavidad hacia arriba (forma de U) y concavidad hacia abajo.
La concavidad hacia arriba se da cuando la derivada segunda es positiva
y'' = 12x^2 - 8x - 4
las raíces son
$$\begin{align}&x=\frac{8\pm \sqrt{64+4·48}}{24}=\\&\\&\frac{8\pm \sqrt {256}}{24}=\frac{8\pm 16}{24}= -\frac 13\; y\; 1\end{align}$$Y ahora tenemos que y'' es un polinomio de grado 2 positivo a los lados de las raíces y negativo entre ella, luego los intervalos son
(-Oo, -1/3) y'' es positiva, luego la función es concava hacia arriba
(-1/3, 1) y'' es negativa, luego la función es cóncava hacia abajo
(1, oo) y'' es positiva, luego la función es cóncava hacia arriba.
Perdona, calculé mal la derivada primera con lo cual está mal el máximo y está mal la derivada segunda también con lo cual están mal los intervalos de concavidad. Haz caso solo a la otra respuesta que te han dado.