Matemáticas ¿Como hago el siguiente ejercicio?
Dos rectas pasan por el punto (3,-2). Una es paralela a la recta y = 3x +1 , y la otra es perpendicular a ella. Encuentra la ecuación de estas dos rectas.
2 Respuestas
Como tienes la ecuación explicita de la recta:y=mx+b
Sabes que la pendiente m=3
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. Luego la paralela es
y=3x+b
Sustituyendo el punto por el que pasa:
-2=3(3)+b
b=-11
luego la paralela es y=3x-11
El producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es -1
m·m'=-1
m'=-1/3
Luego la perpendicular es:
$$\begin{align}&y= \frac{-1}{3}+b\\&Sustituyendo \ el \ punto\\&-2=\frac{-1}{3}(3)+b\\&b=-1\\&\\&y=\frac{-1}{3}-1\end{align}$$
$$\begin{align}&y=\frac{-1}{3}x-1\end{align}$$es la perpendicular
Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente y perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1
De la expresión general de la recta
y = m x + b
Tenemos que la pendiente (m) en la recta que te dan es 3, así que tus rectas tendrán la forma
$$\begin{align}&y_1 = 3 x -11\\&y_2 = -1/3 x - 1\end{align}$$además sabemos que ambas pasan por el punto (3,-2), o sea
$$\begin{align}&-2 = 3*3 + b_1\\&-2 = -1/3*3 + b_2\end{align}$$despejando tenemos
$$\begin{align}&b_1 = -2 - 9 = -11\\&b_2 = -2 + 1 = -1\end{align}$$o sea que finalmente las dos rectas son:
$$\begin{align}&y_2 = 3 x - 11\\&y_2 = -1/3 x -1\\&\\&\end{align}$$