Buen día o noches en cuanto a integrales no definida, agradezco su colaboración para desarrollarla y encontrar solución.

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No te preocupes por la hora, yo vivo más con la hora de América que con española, y al final mando a la cama a los de un sitio y casi a los del otro.

$$\begin{align}&\ \int(4x^2 dx)/(1-8x^3 )^4=\\&\\&u=(1-8x^3)\\&du= -24x^2dx\implies  4x^2=-\frac 16du\\&\\&=-\frac 16\int \frac{du}{u^4}=\\&\\&-\frac 16\int u^{-4}du=\\&\\&-\frac 16\left( \frac{u^{-3}}{-3} \right)+C=\\&\\&\frac{1}{18u^3}+C=\\&\\&\frac{1}{(1-8x^3)^3}+C\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo.

¡Gracias! Muchas Gracias por su ayuda.

Lo que necesito es realizar la función inversa, es decir, tengo que comprobar el resultado anterior derivando este, gracias.

Primero deja que corrija un error que cometí en la integral al final del todo.

$$\begin{align}&\frac{1}{18u^3}+C=\\&\\&\frac{1}{18(1-8x^3)^3}+C\end{align}$$

Y la forma de comprobar si está bien es haciendo la derivada.  Lo que pasa es que alguna vez habrá que simplificar de forma adecuada.  Y con muchas integrales trigonométricas raras la derivada no se va a parecer nada al integrando aunque sea igual.

$$\begin{align}&\left(\frac{1}{18(1-8x^3)^3}+C\right)' =\\&\\&\text{la derivada de }\frac 1u es\; -\frac{u'}{u^2}\\&\\&-\frac{18·3(1-8x^3)^2·(-8)·3x^2}{18^2(1-8x^3)^6}=\\&\\&\frac{18·72·x^2(1-8x^3)^2}{18·18·(1-8x^3)^2(1-8x^3)^4}=\\&\\&\text{simplificamos }18\quad y\quad (1-8x^3)^2\\&\\&=\frac{72x^2}{18(1-8x^3)^4}=\\&\\&\text{ y como }72/18=4\\&\\&=\frac{4x^2}{(1-8x^3)^4}\end{align}$$

Luego queda comprobado que la integral está bien.

Y eso es todo.

¡Gracias! por su ayuda, en verdad no sabe como le agradezco.