2. Hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio 7 cuyos centros están en el eje X.

Antonio Martínez!

No sé cuáles son esos criterios de evaluación. Yo te resuelvo el problema y tu añades lo que sea necesario para tener una buena evaluación.

La ecuación de una circunferencia de centro (h, k) y radio r es

(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2

Por tener los centros en el eje X la forma de estos centros será

(C, 0)

Con lo cual la ecuación de las circunferencias será

(x-C)^2 + (y-0)^2 = 49

(x-C)^2 + y^2 = 49

Tenemos que hacer una derivación implícita en la que desaparezca C, para ello la intentaremos despejar

$$\begin{align}&(x-C)^2 = 49-y^2\\ & \\ & x - C = \sqrt{49-y^2}\\ & \\ & -C = -x + \sqrt{49-y^2}\\ & \\ & C=x - \sqrt{49-y^2}\\ & \\ & \text{este último paso no era necesario, pero por estética}\\ & \text{y ahora derivamos respecto de x}\\ & \\ & 0 = 1 + \frac{2yy'}{2 \sqrt{49-y^2}}\\ & \\ & \frac{2yy'}{2 \sqrt{49-y^2}}=-1\\ & \\ & yy' =-\sqrt{49-y^2}\\ & \\ & y' =- \frac{\sqrt{49-y^2}}{y}\end{align}$$