Hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio 7 cuyos centros están en el eje X.

Joselito Lara!

a) La pendiente es la derivada de y respecto de x, luego la ecuación diferencial es:

dy/dx = 2+3x

y la ecuación general se resuelve así:

dy = (2+3x)dx

y = 2x + (3/2)x^2 + C

La gráfica de unas cuantas es esta:

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La ecuación de una circunferencia de centro (h, k) y radio r es

(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2

Por tener los centros en el eje X la forma de estos centros será

(C, 0)

Con lo cual la ecuación de las circunferencias será

(x-C)^2 + (y-0)^2 = 49

(x-C)^2 + y^2 = 49

Tenemos que hacer una derivación implícita en la que desaparezca C, para ello la intenteremos despejar

$$\begin{align}&(x-C)^2 = 49-y^2\\ & \\ & x - C = \sqrt{49-y^2}\\ & \\ & -C = -x + \sqrt{49-y^2}\\ & \\ & C=x - \sqrt{49-y^2}\\ & \\ & \text{este último paso no era necesario, pero por estética}\\ & \text{y ahora derivamos respecto de x}\\ & \\ & 0 = 1 + \frac{2yy'}{2 \sqrt{49-y^2}}\\ & \\ & \frac{2yy'}{2 \sqrt{49-y^2}}=-1\\ & \\ & yy' =-\sqrt{49-y^2}\\ & \\ & y' =- \frac{\sqrt{49-y^2}}{y}\end{align}$$