Elipsoide en coordenadas esféricas
Te quería preguntar si sabes la expresión del radio "r" en función de los 2 ángulos de las coordenadas esféricas de un elipsoide centrado en uno de sus focos. En polares en dos dimensiones sé que una elipse ( en eje x de ancho "+/-a", en eje y ancho "+/-b" y de focos +/- c ) corrida hacia uno de sus focos se puede representar como r = p/(1+e*cos0)donde p (=b^2/a) y e (=c/a) son expresiones en función de (a,b,c) y "0" es el ángulo. Esta es la expresión creo usada para describir las órbitas de los planetas en donde el centro de coordenadas es uno de los focos del elipse y no su centro. Lo que necesitaría es la expresión de "r" pero en función de los 2 ángulos de las coordenadas esféricas, cuando el elipsoide también esta centrado en uno de sus focos ( el elipsoide es de revolución ).
1 respuesta
Respuesta de eudemo
1
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Muchas gracias por todo Eudemo, con eso creo me alcanza. Saludos.
Las coordenadas polares son el radio r, la colatitud theta y el azimut fi.
Las coordenadas cartesianas en función de las polares son
x = r sen theta cos fi
y = r sen theta sen fi
z = r cos theta
De manera que si tienes una ecuación en función de por, y, z puedes pasarla a polares reemplazando.
Si la superficie es de revolución y el eje de revolución es el eje z entonces la ecuación no depende de fi .
Los puntos con theta constante forman conos cuyo eje es el eje z. La intersección la superficie de revolución con un cono theta constante es una circunferencia r = constante = p/(1+e*cos theta)
Los puntos con fi constante forman planos que contienen al eje z.
La intersección una superficie de revolución con un plano fi constante es la elipse.
Si el eje del elipsoide de revolución es el eje z la ecuación en polares es directamente la de ecuación de la elipse:
r (theta;fi) = r (theta) = p/(1+e*cos theta)
Con fi cualquiera. Si el eje de revolución fuera un eje cualquiera la ecuación es muchísimo más complcada.
Las coordenadas cartesianas en función de las polares son
x = r sen theta cos fi
y = r sen theta sen fi
z = r cos theta
De manera que si tienes una ecuación en función de por, y, z puedes pasarla a polares reemplazando.
Si la superficie es de revolución y el eje de revolución es el eje z entonces la ecuación no depende de fi .
Los puntos con theta constante forman conos cuyo eje es el eje z. La intersección la superficie de revolución con un cono theta constante es una circunferencia r = constante = p/(1+e*cos theta)
Los puntos con fi constante forman planos que contienen al eje z.
La intersección una superficie de revolución con un plano fi constante es la elipse.
Si el eje del elipsoide de revolución es el eje z la ecuación en polares es directamente la de ecuación de la elipse:
r (theta;fi) = r (theta) = p/(1+e*cos theta)
Con fi cualquiera. Si el eje de revolución fuera un eje cualquiera la ecuación es muchísimo más complcada.
