Familia de circunferencias
Mi nombre es carlos y quisiera que por favor me explicaras todo lo refrente a este tema, pero no tan solo cuando las circ pasan por la intersección de 2 circ... Porque eso lo se hasta el cansancio =P... Lo que quiero saber es como hallo la ec de la familia de circ cuanto estas son tangentes ext o int a una determinada circ, etc, etc...
1 respuesta
Respuesta de eudemo
1
Me parece bien que quieras saber ´´todo´´ lo referente al tema.
Lamentablemente (o tal vez afortunadamente) nadie sabe ´´todo´´, ni siquiera sobre un tema. Filosóficamente hablando el ser humano solo puede aspirar a rasgar la superficie de cada tema y obtener respuesta que con toda seguridad abrirán la puerta a un mar de interrogantes. Para colmo yo solo puedo darte algunas ideas básicas. Espero que te sirvan.
Dados el radio R y las coordenadas del centro (xo;yo), la ecuación de la circunferencia es:
(x-xo)^2+(y-yo)^2=Ro^2
La podemos interpretar como la familia de todas las circunferencias del plano. Depende de tres parámetros: pero, yo, Ro
Supongamos que tememos en el plano una circunferencia que llamaremos circunferencia base con radio R1 y centro en (x1;y1). Las circunferencia base serán tangente a las anteriores exteriores cuando la distancia entre sus centros sea igual a la suma de sus radios.
Raíz[(xo-x1)^2+(yo+y1)^2]= Ro+R1
con lo cual es
Ro = Raíz [(xo-x1)^2+(yo+y1)^2]-R1
Es decir que la familia de circunferencias tangentes exteriores a la circunferencia base de radio R1 y centro (x1;y1) es:
(x-xo)^2+(y-yo)^2= {Raíz[(xo-x1)^2+(yo+y1)^2] -R1}^2
Donde pero yo son los parámetros.
Lo que hemos hecho es lo siguiente:
Fijado el centro de la circunferencia obtenemos el correspondiente radio para que sea tangente a la circunferencia base.
Los valores de R1 x1 y1 son constantes para toda la familia. Si son tangentes interiores entonces la distancia entre centros es la diferencia entre los radios. Si la circunferencia base es exterior (radio más grande) a ecuación de la familia es:
(x-xo)^2+(y-yo)^2= {R1- Raíz[(xo-x1)^2+(yo+y1)^2] }^2
Si la circunferencia base es interior (radio mas chico) a ecuación de la familia es:
(x-xo)^2+(y-yo)^2= {R1+Raíz[(xo-x1)^2+(yo+y1)^2] }^2
Si en esta ecuación hacemos R1=0 obtenemos la familia de circunferencias que pasan por el punto (x1;y1)
Hasta aquí hemos impuesto una sola condición. Como a ecuación de la circunferencia en el plano depende de 3 parámetros con lo cual hemos obtenido familias que dependen de 3-1= dos parámetros que en este caso son las coordenadas del centro pero e yo.
Si le imponemos al centro la condición de estar en la recta y=mx+b resulta que es yo=mxo+b. Entonces la familia pasa a depender de un solo parámetro xo. Si la condición es que el centro esté sobre el eje x simplemente hacemos yo=0.
Vamos que otras familias de circunferencias de un solo parámetro posemos tener.
a)Circunferencias que pasan por un punto, centro sobre una recta.
b) Circunferencias que pase por un punto, centro sobre otra circunferencia
c) Circunferencias tangentes a dos rectas
d) Circunferencias tangentes exterior a dos circunferencias
e) Circunferencias tangentes a una recta, centro sobre otra recta
f) Circunferencias tangentes a una circunferencia, centro sobre otra recta
g)Circunferencias tangentes a una recta, centro sobre otra circunferencia
h)Circunferencias tangentes a una circunferencia, centro sobre otra circunferencia.
El caso c) es equivalente al e) ya que una circunferencia tangente a dos restas tiene su centro sobre la bisectriz.
Para cada caso se puede hallar la ecuación de la familia. Esta va a depender de las constantes del punto rectas y/o circunferencias que la definen y del parámetro de la familia. Hecho esto lo lógico sería encontrar la envolvente de la familia. Como ves es mucho hacerlo para todas.
Elige algún caso y trata de hacerlo. Partiendo de la ecuación general de la circunferencia hay que establecer las condiciones que deben cumplir el centro (xo;yo) y el radio Ro Se obtiene así una familia que depende de un solo parámetro. Si quieres que te ayude con algún otro caso particular me preguntas.
Lamentablemente (o tal vez afortunadamente) nadie sabe ´´todo´´, ni siquiera sobre un tema. Filosóficamente hablando el ser humano solo puede aspirar a rasgar la superficie de cada tema y obtener respuesta que con toda seguridad abrirán la puerta a un mar de interrogantes. Para colmo yo solo puedo darte algunas ideas básicas. Espero que te sirvan.
Dados el radio R y las coordenadas del centro (xo;yo), la ecuación de la circunferencia es:
(x-xo)^2+(y-yo)^2=Ro^2
La podemos interpretar como la familia de todas las circunferencias del plano. Depende de tres parámetros: pero, yo, Ro
Supongamos que tememos en el plano una circunferencia que llamaremos circunferencia base con radio R1 y centro en (x1;y1). Las circunferencia base serán tangente a las anteriores exteriores cuando la distancia entre sus centros sea igual a la suma de sus radios.
Raíz[(xo-x1)^2+(yo+y1)^2]= Ro+R1
con lo cual es
Ro = Raíz [(xo-x1)^2+(yo+y1)^2]-R1
Es decir que la familia de circunferencias tangentes exteriores a la circunferencia base de radio R1 y centro (x1;y1) es:
(x-xo)^2+(y-yo)^2= {Raíz[(xo-x1)^2+(yo+y1)^2] -R1}^2
Donde pero yo son los parámetros.
Lo que hemos hecho es lo siguiente:
Fijado el centro de la circunferencia obtenemos el correspondiente radio para que sea tangente a la circunferencia base.
Los valores de R1 x1 y1 son constantes para toda la familia. Si son tangentes interiores entonces la distancia entre centros es la diferencia entre los radios. Si la circunferencia base es exterior (radio más grande) a ecuación de la familia es:
(x-xo)^2+(y-yo)^2= {R1- Raíz[(xo-x1)^2+(yo+y1)^2] }^2
Si la circunferencia base es interior (radio mas chico) a ecuación de la familia es:
(x-xo)^2+(y-yo)^2= {R1+Raíz[(xo-x1)^2+(yo+y1)^2] }^2
Si en esta ecuación hacemos R1=0 obtenemos la familia de circunferencias que pasan por el punto (x1;y1)
Hasta aquí hemos impuesto una sola condición. Como a ecuación de la circunferencia en el plano depende de 3 parámetros con lo cual hemos obtenido familias que dependen de 3-1= dos parámetros que en este caso son las coordenadas del centro pero e yo.
Si le imponemos al centro la condición de estar en la recta y=mx+b resulta que es yo=mxo+b. Entonces la familia pasa a depender de un solo parámetro xo. Si la condición es que el centro esté sobre el eje x simplemente hacemos yo=0.
Vamos que otras familias de circunferencias de un solo parámetro posemos tener.
a)Circunferencias que pasan por un punto, centro sobre una recta.
b) Circunferencias que pase por un punto, centro sobre otra circunferencia
c) Circunferencias tangentes a dos rectas
d) Circunferencias tangentes exterior a dos circunferencias
e) Circunferencias tangentes a una recta, centro sobre otra recta
f) Circunferencias tangentes a una circunferencia, centro sobre otra recta
g)Circunferencias tangentes a una recta, centro sobre otra circunferencia
h)Circunferencias tangentes a una circunferencia, centro sobre otra circunferencia.
El caso c) es equivalente al e) ya que una circunferencia tangente a dos restas tiene su centro sobre la bisectriz.
Para cada caso se puede hallar la ecuación de la familia. Esta va a depender de las constantes del punto rectas y/o circunferencias que la definen y del parámetro de la familia. Hecho esto lo lógico sería encontrar la envolvente de la familia. Como ves es mucho hacerlo para todas.
Elige algún caso y trata de hacerlo. Partiendo de la ecuación general de la circunferencia hay que establecer las condiciones que deben cumplir el centro (xo;yo) y el radio Ro Se obtiene así una familia que depende de un solo parámetro. Si quieres que te ayude con algún otro caso particular me preguntas.
