¿Por qué este error al conectar la base de datos?

Ese error indica que el nombre de la base de datos no es el correcto...
Debes de escribir el nombre del archivo físico de tu base de datos (sin el path)
Recuerda que cuando le das en crear una nueva conexión y vas a utilizar dsn, entonces el dsn ya debe de existir... los dsn los puedes probar en el botón de 'testConection' (en el odbc manager)
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Si deseas conectarte a la bd desde otra maquina en red debes crear un dsn desde el 'odbc manager' que apunte a la maquina donde tienes el ServidordeBasedeDatos

No estas muy lejos de lograrlo, me parece que para utilizar una conexión con ODBC, en tu caso, deberás especificar la ubicación de la base de datos, recuerda que anywhere es sybase pero para pc, y esta se encuentra ubicada físicamente en un directorio del disco duro,
Imagino que localmente no tienes ningún problema de hacerlo,
Sin embargo cuando quieres utilizar una pc remota, comienzan los dolores de cabeza,
anywhere es una base de datos que se encuentra en un directorio de tu pc, a la que voy a llamar servidor de base de datos (sbd), para que una pc remota por medio de una red, pueda leer la base de datos montada en el sbd, simplemente debes hacer publico el directorio en donde se encuentra la base de datos.
Luego este directorio deberá convertirse en una unidad lógica en tu pc remota, esto significa que podrías llamar a ese directorio F: por ejemplo.
Luego en tu configuración del ODBC del cliente, cuando indiques la ubicación de la base de datos, simplemente utilizas la unidad lógica F: para indicar la ubicación exacta.
Esto deberá solucionar tu problema.

Antes que nada disculpa la demora pero estaba de viaje.
Aparentemente tienes mal puesto el nombre de la base de datos, o no estas levantando el servicio al momento de conectarte... de todos modos te recomiendo www.deja.com allí podes verificar que no sea problemas de compatibilidad con win XP