Hacer DNI a menor apellidos diferentes al padre

Hola buenas tardes, soy soltera pero tengo un hijo de 6 años al que el padre reconoció, aunque hace ya 5 años que no lo ve ni se hace cargo. Esta todo en tramites, aunque mi pregunta es: el padre se cambio los apellidos el 2º lo puso el 1º y al revés y envió una "demanda" para cambiárselos a mi hijo también y yo me negué a lo que el juzgado me dio la razón. Ahora quiero hacerle el DNI al niño e ira con sus apellidos de siempre, pero no coincidirá con el primer apellido de su padre. En que perjudica o beneficia eso a mi o ami hijo... O incluso al padre? Muchas gracias