Consulta legal sobre trabajo en otra empresa al estar de baja laboral en otra

Pues mi pregunta es la siguiente:
Llevo de baja desde el 25 de mayo, con mis partes de confirmación, mi sueldo íntegro, todo perfecto; sin problemas por parte de la empresa ni nada.
Ahora bien, me están ofreciendo un trabajo mejor que el que tengo, en otra empresa. Me interesa cogerlo incluso teniendo que pedir el alta (obvio).
El trabajo sería para empezar "ya". El preaviso de 15 días no creo que fuera problema, ya que tengo días de vacaciones no disfrutados y esos días días supongo que podrían usarse como "preaviso".
Mi duda es que si puedo pedir el alta por mejoría a un médico que no es el mío; es decir, mi médico de cabecera, que fue quien me dio la baja, está de vacaciones y creo que vuelve el día 8 de agosto, fecha para la que ya tendría que haber empezado en la otra empresa.
¿Me puede dar el alta el médico sustituto, o tiene que dármela el mismo médico que dio la baja?
En caso de que sólo pueda darme el alta mi médico, ¿hay alguna otra opción para que yo pueda empezar a trabajar en la otra empresa? Opción legal, claro está...
Y respecto al tema del preaviso, aunque "se queden" con mis vacaciones como preaviso, me pueden dar de alta en la otra empresa, ¿o hay que agotar esos 15 días antes?