De cuantos lados es el polígono de 54 diagonales

Hay que usar la fórmula del número de diagonales de un polígono de n lados

Dn = n(n-3)/2

La demostración es sencilla. De un vértice salen diagonales a todos los demás salvo a sí mismo y a los que tiene al lado. Luego de cada vértice salen n-3 diagonales. Como son n vértices salen n(n-3) diagonales. Pero cada diagonal se cuenta dos veces, cuando sale de un vértice y cuando sale del otro de la diagonal, luego son la mitad, y el resultado es

Dn = n(n-3) / 2

Sustituimos las diagonales que nos dicen

n(n-3) / 2 = 54

n(n-3) = 2·54 = 108

n^2 - 3n = 108

n^2 - 3n - 108 = 0

resolvemos la ecuación de segundo grado

$$\begin{align}&n = \frac{3\pm \sqrt{9+4·108}}{2}=\\ &\\ &\frac{3\pm \sqrt{441}}{2}=\frac{3\pm21}{2}= 12\; y\; -9\end{align}$$

La respuesta -9 no sirve porque el número de lados debe ser positivo. Luego la respuesta es

n = 12 lados. El dodecaedro.

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Y la otra pregunta es las diagonales del pentadecágono.

El pentadecágono es el polígono de 15 lados.

Aplicamos la fórmula

D15 = 15(15-3)/2 = 15·12/2 = 15·6 = 90 diagonales

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar para poder hacer más preguntas.