Medidas lados hexágonos y pentágonos icosaedro truncad

Necesitaría saber cuánto miden los hexágonos y pentágonos de un balón de fútbol de 70 cm de diámetro y otro de 50 cm de diámetro. Si pudierais darme la fórmula razonada a parte del resultado, mucho mejor. Teniendo en cuenta que de matemáticas se más bien lo básico.

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Pues has ido a dar con el que nunca ha tenido un balón de fútbol en su vida. Tal vez con uno delante podría hacer una demostración más fácil. Pero la que voy a hacer es rigurosa 100% usando geometría euclidea. ¡Ah, como la pregunta es bastante complicada, no perderé mucho tiempo en los qpequeños detalles!
El icosaedro truncado se forma truncando los 12 vértices de un icosaedro. Cada arista queda reducida a la tercera parte de la del icosaedro original puesto que las caras triangulares pasan a convertirse en hexágonos inscritos en ese triángulo.
                V
           B B
      B B
V B B V
Más o menos se ve en el dibujo, V son los vértices originales del icosaedro y B los que quedan al truncar. Aparte de los 20 hexágonos, que salen de los 20 triangúlos equilateros que había, se forman 10 pentágonos puesto que en cada vértice truncado confluían 5 aristas. Por cuestiones de que el triángulo original era equilátero y el hexágono posterior regular no cuesta demostrar que VB = BB y que por tanto BB es VV/3. O sea, lo que decía, que la arista queda reducida a la tercera parte.
Ahora vayamos a la wikipedia:
http://es.wikipedia.org/wiki/Icosaedro#Coordenadas_cartesianas_y_estructura
Nos aparecen las coordenadas de los vértices del icosaedro original centrado en (0,0,0).
A la razón aúrea = (1+sqrt(5))/2 yo la llamaré "au" porque los símbolos escritos aquí fallan más que una escopeta de ferias.
Yo me he fijado en el vértice (0,1, au) y le he buscado un vértice adyacente. Ha sido cuestión de paciencia y hacer un mini programa de ordenador que calculaba distancias para averiguar que los cinco vértices adyacentes son:
(0,-1,au), (1,au,0), (-1,au,0), (au,0,1) y (-au,0,1) que están a distancia 2
Luego otros 5 a distancia 3,236068
Y el más lejano el (0,-1,-au) a 3,804226
Me basta tomar uno de los adyacentes, y formamos esta pareja de vértices:
(0,1,au) y (0,-1, au)
Al truncar en esa arista, los vértices nuevos que se crean en el icosaedro truncado serán:
(0,1/3,au) y (0,-1/3,au)
Y la longitud de la arista es 1/3 -(-1/3) = 2/3
Todos los vértices del icosaedro truncado tocan a la esfera envolvente, estos dos también. Y están en el plano x=0 que corta a esa esfera como un meridiano. Luego la esfera envolvente tiene una circunferencia máxima en la circunferencia con centro (0,0,0) y que pasa por estos vértices.
La distancia de uno cualquiera de ellos al centro es el radio:
r = d((0,1/3,au),(0,0,0)) = sqrt((1/3)^2+ au^2)) = sqrt(1/9 + 1/4 + 5/4 + sqrt(5))
r = sqrt(29/18 + sqrt(5))=  1,9614227 más o menos
Después de todo este camino hemos llegado a que un icosaedro truncado con radio
1,9614227 tiene aristas de 2/3 de longitud.
Cojamos nuestro balones
El de 70 cm de diámetro tiene 35 de radio
Si a 1,9614227 le corresponde 2/ 3
    A 35 cm le corresponden x
x = 35(2/3)/1,9614227 = 11,896127 cm de arista
Al de 50 cm que son 25 de radio le corresponden
x =25(2/3)/1,9614227 = 8,4972335 cm de arista.
Esas son las aristas en los balones, son las mismas para los hexágonos que los pentágonos.
Si quieres calculamos el areá de ellos:
El hexágono son 6 triángulos equilateros de lado la arista (a) y la altura es tal que
h^2+(h/2)^2 = a^2 por el teorema de Pitágoras.
Dado lo complicado del problema principal, que ya me hecha humo la cabeza, te dejo que esto lo hagas tú.
Y para el pentágono el área es aproximadamente:
A = 1,72048·a^2 tal como pone en la wikipedia buscando pentágono.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido.
¡Por cierto, has puesto que los diámetros eran 70 y 50 centímetros! Pero que barbaridad, imagino que has querido decir que eso era la circunferencia. Vamos de nuevo al problema.
Si tiene 70 cm de dircunferncia eso son 2·pi·r luego
r = 70/(2pi) = 70/6,2831853 = 11,140846 cm de radio y la arista será:
a = 11,140846(2/3)/1,9614227 = 3,7866548 cm de arista

Al de 50 cm de circunferencia le corresponde
r = 50/(2pi) = 70/6,2831853 = 7,9577472 cm de radio y la arista será:
a = 7,9577472(2/3)/1,9614227 = 2,7047534 cm de arista
Y ahora si que es todo. Espero que te siva y lo hallas entendido. No olvides puntuar y cerrar la pregunta. Me avisas también si he tenido algún fallo o tienes alguna duda.
Muchísimas gracias por todo el desarrollo, tengo que mirarlo con detenimiento, puesto que como he dicho de matemáticas lo justito.
Sí que quería decir diámetro, puesto que es una simulación de un balón de fútbol en tamaños bastante grandes, de ahí que necesite saber las medidas de las aristas de los hexágonos y pentágonos para poder pintarlos en la superficie de las circunferencias.
Un saludo y muchísimas gracias.
Vale. Al final tenía un poco de prisa porque me había pegado más de medio día buscando y resolviendo el problema. Y con el handicap de no tener un balón a mano, lo miraba en la web pero no me atrevía a asegurar que había en el medio. Porque si lo tuviera tal vez hubiera podido averiguar cuántos hexágonos y/o pentágonos hay en la circunferencia mayor y resolverlo con otros cálculos probablemente más sencillos.
Pues ya que tengo un poco de tiempo te pongo la fórmula que relaciona el tamaño de la arista con el radio del balón.
a = (2/3)/1,9614227· r
a = 0,3398893·r
También el area del hexagono:
h^2+(h/2)^2 = a^2
(5/4)h^2 = a^2
h = sqrt ((4/5)a^2) = 2a/sqrt(5)
Tanto en función de la arista  como del radio del balón:
Area hexágono = 6·a·h/2 = 6·a·2a/(2·sqrt(5)) = 2,6832816·a^2
Area hexágono = 2,6832816· (0,3398893·r)^2 = 0,3099854·r^2
El área del pentágono que ya te digo que me fío de Wikipedia porque no es muy sencilla:
Area pentágono = 1,7204774·a^2
Area pentágono = 0,1987577·r^2
Y para terminar ya no cuesta nada calcular la superficie del balón que aproximadamente es la del icosaedro,:
Area Balón = la de 20 hexagonos + 12 pentagonos
Area balón = 20·2,6832816·a^2 + 12·1,7204774·a^2 = 74,311361·a^2
Area balón = 20·0,3099854·r^2 + 12·0,1987577·r^2 = 8,5848004·r^2
Recuerdo que con r me estoy refiriendo to el rato al radio del balón.
Y ahora ya lo dejo. Vete digeriéndolo si puedes. Y no olvides puntuar y cerrar la pregunta por amor de Dios.
Fe de erratas:
En el primer bloque de la respuesta, en el tercer párrafo dice que se forman 10 pentágonos. En realidad son 12.
A ver, para los muy matemáticos. Pueden objetar que esta demostración podría fallar porque al truncar el icosaedro no se mantenga el centro del polígono y pase a ser otro distinto del (0,0,0) con lo cual mi cálculo del radio sea erróneo.
Si, se vuelve al enlace a la wikipedia arriba mostrado, se ve como son los doce vértices del icosaedro. Para cada uno existe el vértice opuesto por el centro, el que tiene las mismas coordenadas con signos cambiados. Eso significa que todas las aristas también tienen simetría central. Al truncar se recortan segmentos de igual longitud en cada arista para aparecer nuevos vértices, eso también sucede en las aristas opuestas y por cada vértice nuevo que aparece también aparece su opuesto con los signos cambiados y equidistante del (0,0,0). Cuando 60 vértices equidistan de (0,0,0) estando en no sé cuántos planos distintos..., ¿podría decirme alguien medianamente sensato qué (0,0,0) no es el centro?
Y eso es todo. Me estás dando tiempo a meditar mucho y añadir nuevos comentarios mientras espero que puntúes para cerrar la pregunta. Créeme que es la pregunta a la que más esfuerzo he dedicado y más innovadora y gratificante ha sido para mí. Pero ya va siendo hora de dejarla atrás.
Ya habrás tenido tiempo para meditar o comprobar la respuesta. Yo estoy aquí pendiente de que la puntúes para que quede cerrada. No fue precisamente una pregunta fácil esta y me dediqué más que a ninguna, sería una pena que no sirviera para nada el esfuerzo que hice.
Ya ha pasado mucho tiempo desde que respondí y no has pedido explicaciones ni cerrado la pregunta. Hazlo por favor, es la única recompensa que tenemos los expertos por el esfuerzo realizado. Que en esta pregunta fue mucho, realmente mucho. No te cuesta nada y haces sentir que sirvió para algo el trabajo realizado.
Ya hace casi dos meses que contesté. Supongo que has tenido tiempo de comprobar que está bien resuelto y podrías puntuar. Eso te dará derecho a formular nuevas preguntas, sino no esperes que nadie te conteste después de haberle dejado plantado.
Aparte que este es de los problemas que más me ha costado y más elaborado está. Que debería ser ejemplo y estar expuesto en el tablón. Está muriéndose de asco metido en un cajón.
¡Haz el favor!
Mucha gracias!
Siento no haber contestado antes, pero soy nueva en este tipo de webs y no me aclaro mucho y a parte con el trabajo, no he tenido tiempo de meterme. Lo siento!
Muchas gracias de nuevo!
Respuesta
1

Todo el planteamiento del problema del balón esta perfecto, pero me parece que hay un error en el cálculo. En mi opinión

r = sqrt(29/18 + sqrt(5))=  1,9614227

debería poner

r = sqrt(29/18 +0.5 sqrt(5))=  1,6520124

Respuesta
1

Sacar o medir la circunferencia luego dividir la por 3 y multiplicar el resultado por 2. El valor resultante es la mediodía de los lados tanto para los pentágonos como para lo hexágonos. Para hacer eestos recomiendo trazar una recta de con la medida obtenida y con un semicirculo marcar un punto a los 60° para el hexágono o a los 72° para el pentágono, terminando la figura con lados todos de la misma medida. (La que sacamos al principio). Mi cálculo es simple y perfecto.

Para completar la pelota son 12 pentágonos y 20 hexágonos.

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