Las ecuaciones homogéneas son aquellas en que
dy/dx = f(x, y)
donde se cumple
f(kx,ky) = f(x,y) para k € R
Si esta ecuación la ponemos de esa forma tendremos.
(x-y)dx+xdy = 0
xdy = (y-x)dx
dy/dx = (y-x) / x
dy/dx = (y/x) -1
y en efecto
f(kx,ky) = (kx/ky) - 1 = (x/y) -1 = f(x,y)
Las ecuaciones homogéneas se solucionan con el cambio
y/x = u
y=ux
de donde
dy/dx = u + (du/dx)x
Haciendo los cambios nos queda la ecuación
u + (du/dx)x = u - 1
(du/dx)x = -1
du/dx = -1/x
du = -dx/x
integrando
u = -lnx + C
Y aquí se hacen algunos arreglos con la variable de integración
u = -lnx - lnC
u = - (lnx + lnC) = - ln(Cx)
No olvidemos deshacer el cambio
y = ux
y = -x·ln(Cx)
Y eso es todo.