Las derivadas de las funciones son

Un 2x fuera no pinta nada porque la derivada de lo de dentro de la raíz no tiene x. Luego haremos que desaparezca puniendo el 2x como u

$$\begin{align}&\int 2x \sqrt{2x-3}dx=\\ &\\ &u=2x\quad\quad \quad\quad \quad du=2dx\\ &dv=\sqrt{2x-3}dx\quad v=\frac 13 \sqrt{(2x-3)^3}\\ &\\ &=\frac{2x \sqrt{(2x-3)^3}}{3}-\frac 23\int \sqrt{(2x-3)^3}dx=\\ &\\ &\\ &\frac{2x \sqrt{(2x-3)^3}}{3}-\frac 23 \frac{\sqrt{(2x-3)^5}}{5}+C=\\ &\\ &\frac{2 \sqrt{(2x-3)^3}}{3}\left(x-\frac{2x-3}{5}\right)+C=\\ &\\ &\frac{2 \sqrt{(2x-3)^3}}{3}\left(\frac{5x-2x+3}{5} \right)+C =\\ &\\ &\frac{2 \sqrt{(2x-3)^3}}{3}\left(\frac{3x+3}{5} \right)+C =\\ &\\ &\\ &\frac 25 (x+1) \sqrt{(2x-3)^3}+C \\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.