Resolver el siguiente limite

Los límites de funciones racionales en el infinito tienen unas reglas que una vez conocidas se deberían usar para hacerlo más rapido.

Si el grado del numerador es mayor tiende a infinito, el signo depende de los signos de los coeficientes de mayor grado del numerador y denominador. Que normalmente se ponen delante.

Si el grado del denominador es mayor el límite es 0

Si el grado es el mismo el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado.

No obstante, salvo que que te digan lo contrario, los profesores quieren que dividas numerador y denominador entre x elevado al mínimo de entre el mayor grado del numerador y el mayor grado del denominador. Me explico mejor:

Si el grado del numerador es m y el del denominador n se divide todo entre

x^(mínimo{m,n})

En este caso los grados son iguales luego dividiremos todo entre x^2

$$\begin{align}&\lim_{x\to\infty}\frac{6+5x-6x^2}{7+4x+3x^2}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x\to\infty}\frac{\frac 6{x^2}+\frac 5x-6}{\frac 7{x^2}+\frac 4x+3}=\\ &\\ &\text{los términos con x en el denominador tenderán a 0}\\ &\\ &= \frac{0+0-6}{0+0+3}=-\frac{6}{3}=-2\end{align}$$

Como te decía al principio, si los dos grados son iguales es el cociente de los coeficientes de mayor grado.

Y eso es todo.