Productoria infinita en sistemas dinámicos
Amigo quisiera que por favor me ayudaras a simplificar la siguiente productoría, quisiera ver si tiene alguna otra forma, si se puede expresar como otras funciones (sen, cos, etc.) o alguna tendencia.
$$?_1^8¦(a_n/(b_n x+1))$$
donde an y bn son reales positivos.
Si de algo sirve este problema surgió de conocer como es la función de transferencia en sistemas no interaccionantes de infinitas unidades (tanques).
Gracias!!!.
1 Respuesta
El desarrollo de esa multiplicatoria es un polinomio probablemente menos manejable que la misma multiplicatoria.
El denominador será
1 + x(Sumatoria de las combinaciones tomadas de 1 en 1) +
x^2(Sumatoria del producto de las combinaciones tomadas de 2 en 2) +
x^3(Sumatoria del producto de las combinaciones tomadas de 3 en 3) + ... +
x^n(Sumatoria del producto de las combinaciones tomadas de n en n.
Por ejemplo, para n=4
1 + (b1+b2+b3+b4)x + (b1b2+b1b3+b1b4+b2b3+b2b4+b3b4)x^3 +
(b1b2b3+b1b2b4+b1b3b4+b2b3b4)x^3 + b1b2b3b4x^4
Como puedes ver, poco se puede hacer si no se conocen los coeficientes b. Y aun conociéndolos puede ser difícil calcular el valor del denominador.
Si me das datos concretos podría ver si se puede hacer algo, pero en abstracto no se puede hacer más de lo que hice.
Amigo en vista de que no se puede llegar a una solución general (no sé si de pronto aplicando propiedades de la productoria) te doy algunos valores para a y b:
a1= 1.5, a2= 1.2, a3= 2, a4= 2.5
b1=1 , b2=2, b3=3, b4=3.5
Gracias!!.
Me equivoqué en la expresión que puse en unx^3 que era x^2, esta es la expresión correcta
1 + (b1+b2+b3+b4)x + (b1b2+b1b3+b1b4+b2b3+b2b4+b3b4)x^2 +
(b1b2b3+b1b2b4+b1b3b4+b2b3b4)x^3 + b1b2b3b4x^4
Pero como te había dicho, lo mas sencillo es dejar la función como producto, esta sería
$$\begin{align}&\prod_{i=1}^4 \frac{a_i}{b_ix+1}=\frac{1.5\times1.2\times2\times2.5}{(x+1)(2x+1)(3x+1)(3.5x+1)}=\\ &\\ &\text{Los coeficientes son:}\\ &c_4=1·2·3·3.5=21\\ &c_3=1·2·3+1·2·3.5+1·3·3.5+2·3·3.5=44.5\\ &c_2=1·2+1·3+1·3.5+2·3+2·3.5+3·3.5=32\\ &c_1=1+2+3+3.5=9.5\\ &\\ &= \frac{9}{21x^4+44.5x^3+32x^2+9.5x+1}\\ &\\ &\text{Si se quiere se pueden eliminar los decimales}\\ &\\ &=\frac{9}{\frac{42x^4+89x^3+64x^2+19x+2}{2}}=\\ &\\ &\frac{18}{42x^4+89x^3+64x^2+19x+2}\end{align}$$Y eso es todo.
