Hallar el volumen generado por la rotación del área del primer cuadrante de la parábola y^2=8x
Hallar el volumen generado por la rotación del área del primer cuadrante de la
parábola
$$y^2=8x$$
a) con respecto al eje de X
b) sobre la ordenada correspondiente a X=2
1 Respuesta
El volumen de un cuerpo de revolución engendrado por la gráfica de f(x) girando alrededor del eje X entre x=2 y x=b es
$$\pi \int_a^b [f(x)]^2dx$$
Y eso mismo para g(y) alrededor del eje Y entre y = a y b es:
$$\pi \int_a^b [g(y)]^2dy$$
a) Debemos poner y como función de x
y^2 = 8x
y = sqrt(8x)
No indicas los límites supondré que son a y b
$$V = \pi \int_a^b8xdx =4 \pi x^2|_a^b=4 \pi(b^2-a^2)$$
b) Debemos poner x como función de y
x =(y^2)/8
Ahora hay que hacer un cambio de variable para que la recta x=2 sea el eje de ordenadas de la función. A la x = 2 vieja le corresponderá la x = 0 nueva, luego x vieja = x nueva + 2
x+2 = (y^2)/8
x = (y^2)/8 - 2 = (y^2 - 16) / 8
$$\begin{align}&V=\pi \int_a^b \left ( \frac{y^2-16}{8} \right )^2dy=\\ &\\ &\\ &\frac{\pi}{64} \int_a^b ( y^4-32y^2 + 256)dy=\\ & \\ &\\ &\frac{\pi}{64} \left[ \frac{y^5}{5} + \frac{32y^3}{3} + 256y \right]_a^b =\\ &\\ &\\ &\frac{\pi}{960}[3(b^5-a^5)-160(b^3-a^3)+3840(b-a)]\end{align}$$Y eso es todo.
En la parte a) tiene que dar 16pi y en la parte b) 256/15 pi.
el ejercicio dice Hallar el volumen generado por la rotación del área del primer cuadrante de la parábola
$$y^2=8x$$
En la parte b)
Ahora que me fijo hay una errata en la penúltima línea, done pone +32(y^3)/3 debe ser con signo menos. En la última línea está bien.
Supongo que quieren decir la figura cerrada que se crea que este limitada por y=-4 e y=4
(Pi/960){3[4^5-(-4)^5]-160[4^3-(-4)^3]+3840[4-(-4)]}=
(pi/960) (6·4^5 - 320·4^3 +7680·4) =
(pi/960)(6144 - 20480 + 30720) =
(pi/960)(16384) =
16384pi/960 =
256Pi/15
En la parte a)
El primer cuadrante es infinito y no se forma ninguna figura acotada al hacer girar la función, luego faltan los límites para poder resolverlo.
Todo lo demás es hacer suposiciones, el enunciado no dice cuáles son. Lo de la coordenada x=2 aparece pero es para el caso b. De todas formas vamos a probar con los límites x=0 y x=2
V = 4Pi(b^2 - a^2) = 4Pi(2^2-0^2) = 4·Pi·4 = 16 Pi
Es eso, pero el enunciado no decía que el límite fuera 2, simplemente decía el primer cuadrante y eso es infinito.
